更新:2024/12/22
モノイドの意味と性質、具体例について
はるか
モノイドって知ってる？
ふゅか
うーん、名前だけは聞いたことあるけど…集合とか演算が関係してるんでしょ？
はるか
集合と演算を組み合わせた代数構造。条件は2つだけ。結合法則と単位元の存在。
目次
1. モノイドとは？
モノイド（Monoid）は、集合とその上の演算の代数構造の一つです。
モノイドは以下の性質を満たす集合 \( M \) と演算 \( * \) （例えば加法や掛け算のような操作）の組み合わせを指します。
- 結合法則
\( (a * b) * c = a * (b * c) \) がすべての \( a, b, c \in M \) で成り立つ。 - 単位元の存在
\( e \in M \) が存在して、すべての \( a \in M \) に対して\( e * a = a * e = a \) が成り立つ。
この \( e \) を「単位元」と呼びます。
2. モノイドの具体例
2.1. 整数と加法のモノイド
- 集合：全ての整数 \( \mathbb{Z} \)
- 演算：加法 \( + \)
- 単位元：\( 0 \)
- \( 0 + a = a + 0 = a \)
2.2. 自然数と乗法のモノイド
- 集合：自然数 \( \mathbb{N} \)（0を含む）
- 演算：乗法 \( \times \)
- 単位元：\( 1 \)
- \( 1 \times a = a \times 1 = a \)
3. モノイドと他の構造の関係
モノイドは代数構造の一部であり、より一般的な構造や特化した構造との関係があります。
3.1. 群（Group）
モノイドに「逆元（inverse element）」が加わったものが群です。
例: 整数 \( \mathbb{Z} \) は、加法においてモノイドであり、逆元（負の整数）を持つので群でもあります。
ふゅか
モノイドって群や半群とも関係があるんでしょ？
はるか
モノイドに「逆元」が加わると群。
3.2. 半群（Semigroup）
モノイドから単位元の存在を取り除いたものが半群です。
例: 自然数の加法（単位元 \( 0 \) を含まない場合）。
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