ニュートン法

1. ニュートン法

初期値から出発して、導関数の値を用いて方程式の解を近似的に求める手法です。具体的には、ある関数$f(x)$が与えられた場合、方程式$f(x)=0$の近似解を求めることができます。まず、初期値$x_1$を決定し、$(x_1,f(x_1))$における$f(x)$の接線の$x$軸との交点を$x_2$とします。この$x_2$を新たな初期値として、同様の手順を繰り返すことで、解に収束するまで計算を続けます。

2. 接線から漸化式を求める

$(a,f(a))$における接線は以下のようになる。

$y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

したがって、$(x_n,f(x_n))$における接線は

$y-f(x_n)=f^{\prime}(x_n)(x-x_n)$

となる。よって、接線と$x$軸の交点の座標を$(x_{n+1},0)$とするときに、接線の式に代入すると、

$-f(x_n)=f^{\prime}(x_n)(x_{n+1}-x_n)$

となる。

$-f^{\prime}(x_n)x_{n+1}=f(x_n)-f^{\prime}(x_n)x_n$

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$

3. 計算例

$f(x)=x^2-3$であるから、$f^{\prime}(x)=2x$となる。

そのため、

$x_2=x_1-\dfrac{f(x_1)}{f^{\prime}(x_1)}$

$=x_1-\dfrac{x_1^2-3}{2x_1}$

$=2-\dfrac{4-3}{4}$

$=\dfrac{7}{4}$

$=1.75$

$x_3=x_2-\dfrac{f(x_2)}{f^{\prime}(x_2)}$

$=x_2-\dfrac{x_2^2-3}{2x_2}$

$=\dfrac{7}{4}-\dfrac{\dfrac{49}{16}-3}{\dfrac{7}{2}}$

$=\dfrac{7}{4}-\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{7}{2}}$

$=\dfrac{7}{4}-\dfrac{\dfrac{1}{8}}{7}$

$=\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{56}$

$=\dfrac{97}{56}$

$=1.73214285714$

このように、だんだんと$x=\sqrt{3}$に近づいているということがわかります。

3.1. 余談

ニュートン法は、一般的に高速で収束することが特徴ですが、収束しない場合があることや、初期値の選び方によっては解が発散することがあるという欠点もあります。また、導関数の計算が必要なため、解析的に微分できない関数や計算コストの高い関数では使用が難しい場合があります。