ニュートンの不等式の意味と具体例について
1. ニュートンの不等式
変数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)（いずれも非負）について、以下を定義します。
- k 次の基本対称式\[ S(n,k) \;=\; \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}. \]（例：\(k=2\) なら 「すべての 2 変数の積」を合計したもの）
- k 次の部分積の平均\[ d(n,k) \;=\; \frac{S(n,k)}{_{n}\mathrm{C}_{k}}. \]これは「\(k\) 個を選んで積をとる」すべてのパターンについての平均値です。
ここでニュートンの不等式は、
\[ \boxed{ d(n,k)^2 \;\ge\; d(n,k-1)\, d(n,k+1) } \]
という形で表され、変数がすべて非負の場合に成り立ちます。
2. 3変数の例でチェックしてみよう
以下では，「3変数」\(a_1,a_2,a_3\ge0\) を文字のままで扱い，実際にニュートンの不等式 \[ d(3,k)^2 \;\ge\; d(3,k-1)\,d(3,k+1) \quad \bigl(\text{ただし }d(3,k)=\tfrac{S(3,k)}{_3\mathrm{C}_k}\bigr) \] が成り立つことを確認してみます．
2.1. \(S(n,k)\)と$d(n,k) $を計算
- \(S(3,0)\) は「空積を1通りだけ合計」なので\[ S(3,0) = 1 \quad\Longrightarrow\quad d(3,0) = \frac{S(3,0)}{_3\mathrm{C}_0} = 1 \]
- \(S(3,1)\) は「\(a_1+a_2+a_3\)」なので \[ S(3,1) = a_1 + a_2 + a_3 \quad\Longrightarrow\quad d(3,1) \;=\; \frac{a_1 + a_2 + a_3}{_3\mathrm{C}_1} \;=\; \frac{a_1 + a_2 + a_3}{3}. \]
- \(S(3,2)\) は「\(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1\)」なので \[ S(3,2) = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1 \quad\Longrightarrow\quad d(3,2) \;=\; \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{_3\mathrm{C}_2} \;=\; \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{3}. \]
- \(S(3,3)\) は「\(a_1 a_2 a_3\)」なので \[ S(3,3) = a_1 a_2 a_3 \quad\Longrightarrow\quad d(3,3) \;=\; \frac{a_1 a_2 a_3}{_3\mathrm{C}_3} \;=\; a_1 a_2 a_3. \]
3. ニュートンの不等式を \(k=1\) で確認
ニュートンの不等式 \[ d(3,k)^2 \;\ge\; d(3,k-1)\,d(3,k+1) \] を\(k=1\) 場合で調べます．
3.1. \(k=1\) の場合
不等式は \[ d(3,1)^2 \;\ge\; d(3,0)\,d(3,2) \] となります．
- 左辺 \(d(3,1)^2\)\[ d(3,1) = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \quad\Longrightarrow\quad d(3,1)^2 = \Bigl(\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3}\Bigr)^2 = \frac{(a_1 + a_2 + a_3)^2}{9}. \]
- 右辺 \(d(3,0)\cdot d(3,2)\)\[ d(3,0) = 1, \quad d(3,2) = \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{3}. \] よって \[ d(3,0)\,d(3,2) = 1 \times \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{3} = \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{3}. \]
したがって \[ \frac{(a_1 + a_2 + a_3)^2}{9} \;\;\ge\;\; \frac{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1}{3} \] を示せばよい．両辺を 9 倍して整理すると \[ (a_1 + a_2 + a_3)^2 \;\;\ge\;\; 3\,\bigl(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1\bigr). \]
3.2. 左辺と右辺の差を展開してみる
\[ \begin{aligned} &(a_1 + a_2 + a_3)^2 \;-\; 3(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1) \\ &\quad=\; a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \;+\; 2\,(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1) \;-\; 3(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1) \\ &\quad=\; a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \;-\; (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1). \end{aligned} \] ここで \[ a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \;-\; (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1) \;=\; \tfrac12 \Bigl\{ (a_1 – a_2)^2 + (a_2 – a_3)^2 + (a_3 – a_1)^2 \Bigr\}. \] 右辺は 2 乗の和なので明らかに \(\ge0\) です．
よって \[ (a_1 + a_2 + a_3)^2 \;\ge\; 3(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1) \quad\Longrightarrow\quad d(3,1)^2 \;\ge\; d(3,0)\,d(3,2), \] すなわち \(k=1\) の場合のニュートンの不等式は示されます．
