正規分布の確率密度関数、期待値と分散、標準正規分布について
1. 正規分布の特徴
1.1. 正規分布の形状
- 平均値（μ）を中心に左右対称で、最も高い点が平均値に位置します。
- 分散（σ²）が小さいと曲線は鋭くなり、大きいと広がります。
μ=0に固定して、異なる分散値を持つ正規分布のグラフを描いてみましょう。例えば、分散が 1、5、10 の正規分布を比較してみます。
上のグラフでは、異なる分散（σ²）を持つ正規分布を示しています。分散が 1、5、10 の場合の曲線を比較しています。
- 分散が1の場合（青い線）、曲線は非常に鋭く、ピークが高くなっています。
- 分散が 5の場合（オレンジの線）、曲線は少し広がり、ピークが低くなっています。
- 分散が10の場合（緑の線）、曲線はさらに広がり、より平らになっています。
これにより、分散が大きくなるにつれて、分布がより広がり、ピークが低くなることが視覚的に確認できます。
2. 確率密度関数
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]
ここで、expは自然対数の底（e ≈ 2.718）の指数関数です。
3. 正規分布の期待値と分散
$$\mathbb{E}[X] = \mu$$$$\mathbb{V}(X) = \sigma^2$$
確率密度関数から期待値と分散を求めてみましょう。
3.1. 期待値の計算
期待値 \( \mathbb{E}[X] \) は次のように定義されます。
\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \]
正規分布のPDFを代入して計算します。
\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \, dx \]
置換積分を行います。
\( u = \frac{x - \mu}{\sigma} \) と置くと、 \( du = \frac{dx}{\sigma} \) となります。
これにより積分範囲は無限範囲なのでそのままです。
\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma u + \mu) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \sigma \, du \]
\[ = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\sigma u}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \right) \, du \]
\[ = \sigma \int_{-\infty}^{\infty} u \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \, du + \mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \, du \]
ここで、1つ目の積分は奇関数の積分なので0となります。また、ガウス積分より、
\[ \sigma \cdot 0 + \mu \cdot 1 = \mu \]
したがって、期待値は次のようになります。
\[ \mathbb{E}[X] = \mu \]
3.2. 分散の計算
分散 \( \mathbb{V}[X] \) は次のように定義されます。
\[ \mathbb{V}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) \, dx \]
再び正規分布の確率密度関数を代入します。
\[ \mathbb{V}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \, dx \]
同様に変数を置き換えます。
\[ \mathbb{V}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma u)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \sigma \, du \]
\[ = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} u^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \, du \]
ここで、
\[ \int_{-\infty}^{\infty} u^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{u^2}{2} \right) \, du = 1 \]
となる。
したがって、分散は、
\[ \mathbb{V}[X] = \sigma^2 \cdot 1 = \sigma^2 \]
4. 標準正規分布
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
この関数の形状は左右対称で、中心（平均）を基準に左右に広がります。
- 平均（期待値）: \(0\)
- 標準偏差: \(1\)
- 分散: 標準偏差の2乗、つまり \(1\)
- 形状: 鐘形で、左右対称です。
