オッズの基本的な性質と具体例について
1. オッズとは
\[ \text{オッズ} = \frac{p}{1 – p} \]
この数式の意味は、「出来事が起こる確率 \( p \)」に対して「出来事が起こらない確率 \( 1 – p \)」との比率を示しています。
例えば、ある出来事が起こる確率が 0.25（25%）であれば、オッズは以下のようになります： \[ \text{オッズ} = \frac{0.25}{1 – 0.25} = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3} \]
このオッズは「1対3」と読むことができ、これは「その出来事が起こる1回につき、起こらないことが3回ある」という意味です。
- オッズはロジット関数と関連があります。
2. オッズの性質
2.1. オッズのマクローリン展開
\[ O = p + p^2 + p^3 + p^4 + \cdots \]
オッズのマクローリン展開を考えるために、オッズ \( O \) の式をまず確認します。オッズ \( O \) は確率 \( p \) を用いて次のように定義されます。
\[ O = \frac{p}{1 – p} \]
\( p \) が十分小さいと仮定し、オッズ \( O \) を \( p \) のマクローリン展開として表すことを考えます。まず、オッズを少し変形します。
\[ O = \frac{p}{1 – p} = p \cdot \frac{1}{1 – p} \]
ここで、\(\frac{1}{1 – p}\) のマクローリン展開を用います。この関数のマクローリン展開は以下の通りです。
\[ \frac{1}{1 – p} = 1 + p + p^2 + p^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} p^n \]
この展開をオッズの式に代入すると、
\[ O = p \left( 1 + p + p^2 + p^3 + \cdots \right) \]
これを展開すると、
\[ O = p + p^2 + p^3 + p^4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} p^n \]
つまり、オッズ \( O \) のマクローリン展開は次のようになります。
\[ O = p + p^2 + p^3 + p^4 + \cdots \]
この結果から、確率 \( p \) が十分小さいとき、オッズ \( O \) はほぼ確率 \( p \) に等しくなることがわかります。これは、展開の高次の項 \( p^2, p^3, \ldots \) が \( p \) が小さいほど無視できるようになるためです。
2.2. オッズと確率の関係
\[ O \approx p \]
例えば、ある出来事が起こる確率が \( p = 0.01 \)（1%）の場合、オッズは次のようになります。
\[ O = \frac{0.01}{1 – 0.01} = \frac{0.01}{0.99} \approx 0.0101 \]
オッズはほぼ確率pと同じになります。この近似が成り立つのは、確率が小さいと \( 1 – p \) が 1 に非常に近くなるためです。
