更新:2024/09/16

直交行列の定義・性質・具体例・計算問題について

$はるか$

はるか

直交行列ってどこが直交するの？

$ふゅか$

ふゅか

実は、行列の列ベクトルが直交しているわ！

1. 直交行列 $ U $ の定義
2. 直交行列の具体例
2.1. 2次元回転行列
2.2. 3次元単位ベクトルの反転
2.3. 対角行列
3. 直交行列 $ U $ の性質
3.1. 逆行列の存在：$ U^{-1} = U^T $
3.2. 行列の積: $ U_1U_2 $ も直交行列
3.3. 行列式: 直交行列 $ U $ の行列式は常に $ \pm 1 $
3.4. ノルムの保存: $ \|Ux\| = \|x\| $
3.5. 内積の保存: $ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle $
3.6. 直交行列の列ベクトルが直交する
4. 直交行列の計算問題
4.1. 問題 1: 逆行列の計算
4.2. 問題 2: 行列の積
4.3. 問題 3: 行列式の計算
4.4. 問題 4: ノルムの保存
4.5. 問題 5: 内積の保存
4.6. 問題 6: 列ベクトルの直交性

1. 直交行列 $ U $ の定義

直交行列 $ U $ は、以下の条件を満たすn次正方行列です。

\[ U^T U = UU^T = I \]

ここで、$ U^T $ は行列 $ U $ の転置行列、$ I $ は単位行列です。

2. 直交行列の具体例

直交行列 $ U $ の具体例をいくつか示します。

2.1. 2次元回転行列

2次元空間における回転行列 $ R(\theta) $ は、角度 $ \theta $ の回転を表す直交行列です。

\[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

2.2. 3次元単位ベクトルの反転

次の行列 $ U $ は、3次元空間における特定の軸に関する反転を表す直交行列です。

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

2.3. 対角行列

対角要素が $ 1 $ または $ -1 $ の場合も、直交行列になります。例えば、次のような行列 $ U $ です。

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

3. 直交行列 $ U $ の性質

直交行列 $ U $ には以下の性質があります。

逆行列の存在: 直交行列 $ U $ の逆行列 $ U^{-1} $ は、転置行列 $ U^T $ と等しくなります。すなわち、$ U^{-1} = U^T $ です。
行列の積: 2つの直交行列 $ U_1 $ と $ U_2 $ の積 $ U_1U_2 $ も直交行列になります。
行列式: 直交行列 $ U $ の行列式は常に $ \pm 1 $ です。これは、回転や反転といった変換を表していることを示します。
ノルムの保存: 直交行列 $ U $ は、ベクトルのノルムを保存します。すなわち、任意のベクトル $ x $ に対して、$ \|Ux\| = \|x\| $ です。
内積の保存: 直交行列 $ U $ は、ベクトルの内積も保存します。すなわち、任意のベクトル $ x $ と $ y $ に対して、$ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle $ です。
列ベクトルの直交：直交行列$U$の各列ベクトルは直交します。すなわち、自分以外の列ベクトルの内積は0になり、自分の場合は内積が1になります。

$はるか$

はるか

いっぱいあるな。

$ふゅか$

ふゅか

でも、一つ一つはそんなに難しくはないわ！

3.1. 逆行列の存在：$ U^{-1} = U^T $

直交行列の定義によれば、$ U $ は以下を満たします。

\[ U^T U = I \]

ここで、$ I $ は単位行列です。この等式は、行列 $ U $ の転置行列 $ U^T $ が、$ U $ の逆行列であることを示します。すなわち、$ U^{-1} = U^T $ です。

直交行列の定義より、\[ U^T U =U U^T= I \] となる。逆行列を持つ行列である正則行列は次のようになる。\[ A^{-1}B =B A^{-1}= I \]したがって、 $U^T$が$U$の逆行列であることがわかる。よって、$$U^T=U^{-1}$$

$はるか$

はるか

あー。つまり、直交行列の逆行列を求めたい場合は、転置するだけでいいのか。

3.2. 行列の積: $ U_1U_2 $ も直交行列

2つの直交行列 $ U_1 $ と $ U_2 $ の積 $ U_1U_2 $ が直交行列である。つまり、以下が成り立つ。\[ (U_1 U_2)^T U_1 U_2 = U_1 U_2 (U_1 U_2)^T= I \]

$ U_1 $ と $ U_2 $ が直交行列であるので、以下が成り立ちます。 \[ U_1^T U_1 = I, \quad U_2^T U_2 = I \]

積 $ U_1U_2 $ に対して、転置行列を計算すると、 \[ (U_1U_2)^T = U_2^T U_1^T \]

次に、$ (U_1U_2)^T(U_1U_2) $ を計算します。
\[ (U_1U_2)^T(U_1U_2) = U_2^T U_1^T U_1 U_2 \]
$ U_1^T U_1 = I $ なので、 \[ U_2^T U_1^T U_1 U_2 = U_2^T I U_2 = U_2^T U_2 = I \]

次に、$ (U_1U_2)(U_1U_2)^T $ を計算します。
\[ (U_1U_2)(U_1U_2)^T = U_1 U_2U_2^T U_1^T \]$ U_2^T U_2 = I $ なので、 \[ U_1 U_2U_2^T U_1^T = U_1 I U_1^T = U_1 U_1^T = I \]

従って、$ (U_1 U_2)^T U_1 U_2 = U_1 U_2 (U_1 U_2)^T= I$を満たすため、$ U_1U_2 $は直交行列となる。

3.3. 行列式: 直交行列 $ U $ の行列式は常に $ \pm 1 $

直交行列 $ U $ の行列式は次のようになる。 \[ \det(U) = \pm 1 \]

直交行列 $ U $ は $ U^T U = I $ を満たします。両辺の行列式を取ると、 \[ \det(U^T U) = \det(I) \]

行列の行列式の性質により、次が成り立ちます。 \[ \det(U^T)\det(U) = \det(I) \] \[ \det(U)^2 = 1 \]

したがって、行列式は次のようになります。 \[ \det(U) = \pm 1 \]

3.4. ノルムの保存: $ \|Ux\| = \|x\| $

直交行列 $ U $ はベクトルのノルムを保存することを示します。$f(x)=Ux$と置くと、次のようになる。

$$\|f(x)\|= \|x\|$$

ベクトル $ x $ に対して、ノルムは次のように定義されます。 \[ \|Ux\| = \sqrt{(Ux)^T (Ux)} \]

これを展開すると、\[ \|Ux\| = \sqrt{x^T U^T U x} \]

直交行列の性質 $ U^T U = I $ を使うと： \[ \|Ux\| = \sqrt{x^T I x} = \sqrt{x^T x} = \|x\| \]

したがって、ノルムは保存されます。

$ふゅか$

ふゅか

ちなみに、ベクトルxに対してUxをすると直交変換と呼ばれるわ！

3.5. 内積の保存: $ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle $

直交行列 $ U $ がベクトルの内積を保存することを示します。$f(x)=Ux$と置くと、次のようになる。$$f(x)\cdot f(y) = x\cdot y$$

ベクトル $ Ux $ と $ Uy $ の内積は次のように定義されます。 \[ \langle Ux, Uy \rangle = (Ux)^T (Uy) \]

これを展開すると、 \[ \langle Ux, Uy \rangle = x^T U^T U y \]

直交行列の性質 $ U^T U = I $ を使うと、 \[ \langle Ux, Uy \rangle = x^T I y = x^T y = \langle x, y \rangle \]

したがって、内積は保存されます。

$はるか$

はるか

直交変換をしても内積も変わらないのか。

3.6. 直交行列の列ベクトルが直交する

直交行列$U$に対して、\[ U = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_2 & \cdots & \mathbf{u}_n \end{bmatrix} \]と置いたとき、\[ \mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j = \delta_{ij} \]

ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタであり、次のように定義されます。

\[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases} \]

まず、直交行列 $ U $ が以下のように与えられるとします。

\[ U = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_2 & \cdots & \mathbf{u}_n \end{bmatrix} \]

このとき、行列 $ U $ の転置行列 $ U^\top $ との積 $ U^\top U $ は次のように表されます。

\[ U^\top U = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_1^\top \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_1^\top \mathbf{u}_2 & \cdots & \mathbf{u}_1^\top \mathbf{u}_n \\ \mathbf{u}_2^\top \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_2^\top \mathbf{u}_2 & \cdots & \mathbf{u}_2^\top \mathbf{u}_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{u}_n^\top \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_n^\top \mathbf{u}_2 & \cdots & \mathbf{u}_n^\top \mathbf{u}_n \end{bmatrix} \]

直交行列の定義によれば、$ U^\top U = I $ です。ここで、$ I $ は $ n \times n $ の単位行列であり、次のように表されます。

\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]

これにより、以下のことが成り立ちます。

$ U^\top U $ の対角成分は $ 1 $ であり、次が成り立ちます。

\[ \mathbf{u}_i^\top \mathbf{u}_i = 1 \quad (i = 1, 2, \dots, n) \]

$ U^\top U $ の非対角成分は $ 0 $ であり、次が成り立ちます：

\[ \mathbf{u}_i^\top \mathbf{u}_j = 0 \quad (i \neq j) \]

異なる列ベクトル $ \mathbf{u}_i $ と $ \mathbf{u}_j $ が直交している、つまり互いに垂直であることを意味します。

$はるか$

はるか

なるほど。成分が内積になることと単位行列を利用したのか。

4. 直交行列の計算問題

$ふゅか$

ふゅか

直交行列の性質を利用した計算問題を解いてみよう！

4.1. 問題 1: 逆行列の計算

次の行列 $ U $ が直交行列であることを確認し、逆行列 $ U^{-1} $ を求めてください。

\[ U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

$U^\top$を求めます。

\[ U^\top = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

$U^\top U$と$U U^\top$を計算します。

\[ U^\top U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]\[ U U^\top =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]

よって、$ U $ は直交行列であり、逆行列 $ U^{-1} $ は転置行列 $ U^\top $ です。

\[ U^{-1} = U^\top = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

4.2. 問題 2: 行列の積

直交行列 $ U_1 $ と $ U_2 $ が以下のように与えられています。積 $ U_1U_2 $ が直交行列であることを確認し、行列 $ U_1U_2 $ を求めてください。

\[ U_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad U_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

与えられた行列 $ U_1 $ と $ U_2 $ を掛け合わせて行列 $ U_1U_2 $ を求めます。

\[ U_1U_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

この行列が直交行列であることを確認するために、転置行列と元の行列の積が単位行列になるか確認します。

\[ (U_1U_2)^\top = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

\[ (U_1U_2)^\top (U_1U_2) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]

\[ (U_1U_2) (U_1U_2)^\top = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]

したがって、積 $ U_1U_2 $ は直交行列です。

4.3. 問題 3: 行列式の計算

次の直交行列 $ U $ の行列式を求めてください。また、行列式が $ +1 $ または $ -1 $ になる理由を説明してください。

\[ U = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]

行列 $ U $ の行列式を計算します。

\[ U = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]

行列の行列式は以下の式で計算できます。

\[ \det(U) = \frac{4}{27}+\frac{4}{27}+\frac{4}{27}-\left(-\frac{8}{27}+\frac{1}{27}-\frac{8}{27}\right) = 1 \]

$はるか$

はるか

今回は1になったな。

4.4. 問題 4: ノルムの保存

次のベクトル $ x $ と直交行列 $ U $ が与えられています。ベクトル $ Ux $ のノルムを計算し、ノルムが保存されていることを確認してください。

\[ x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

まず、ベクトル $ Ux $ を計算します。

\[ Ux = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

次に、このベクトルのノルムを計算します。

\[ \|Ux\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \]

元のベクトル $ x $ のノルムも同様に計算します。

\[ \|x\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

よって、ノルムが保存されていることが確認できます。

$ふゅか$

ふゅか

実際に直交変換してもノルムが変わってないね！

4.5. 問題 5: 内積の保存

次のベクトル $ x $ と $ y $、および直交行列 $ U $ が与えられています。ベクトル $ Ux $ と $ Uy $ の内積を計算し、元のベクトル $ x $ と $ y $ の内積と比較してください。

\[ x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8 \end{pmatrix} \]

まず、ベクトル $ Ux $ と $ Uy $ を計算します。

\[ Ux = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.8 \\ 1.4 \end{pmatrix} \]

\[ Uy = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.4 \\ -4.8 \end{pmatrix} \]

この2つのベクトルの内積を計算します。

\[ Ux \cdot Uy = 4.4 \times 1.4 + 1.4\times (-4.8) = 0 \]

元のベクトル $ x $ と $ y $ の内積を計算します。

\[ x \cdot y = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 – 12 = 0 \]

内積が保存されていることが確認できます。

4.6. 問題 6: 列ベクトルの直交性

次の行列 $ U $ の列ベクトルの内積を計算し、直交性を確認してください。

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

行列 $ U $ の列ベクトルを $ u_1, u_2, u_3 $ と定義します。

\[ u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

これらのベクトルの内積を計算します。

1. $ u_1 \cdot u_2 $ を計算します。

\[ u_1 \cdot u_2 = 1 \times 0 + 0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \times -\frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \]

2. $ u_1 \cdot u_3 $ を計算します。

\[ u_1 \cdot u_3 = 1 \times 0 + 0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \]

3. $ u_2 \cdot u_3 $ を計算します。

\[ u_2 \cdot u_3 = 0 \times 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + -\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0 \]

これらの結果から、すべての内積が0であるため、列ベクトル $ u_1, u_2, u_3 $ は互いに直交しています。