【積分】三角関数の直交性と証明について
1. 三角関数の直交性
$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$
\( m \) と \( n \) が異なる場合、積分結果は 0 になります。一方、同じ場合には積分値が \(\pi\) となります。一方で余弦波の場合も同様に、
$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$
これはフーリエ級数展開と関係があります。
2. 証明
2.1. 正弦波（sin）同士の積の証明
まず、積和の公式を利用して、\(\sin(mx)\sin(nx)\)を以下のように変形します。
\[ \sin(mx)\sin(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] \]
この結果を使って、積分を次のように書き換えます。
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] dx \]
[1]\(m \neq n\) の場合、$\cos$は偶関数であるので、
\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] \, dx \\ &= \int_{0}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] \, dx \\ &= \left[\frac{1}{m-n} \sin((m-n)x) - \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x)\right]_{0}^{\pi} \\ &= 0 \end{align*} \]
したがって、\(m \neq n\) の場合、全体の積分は 0 になります。
[2]\(m = n\) の場合、\(\cos((m-n)x) = \cos(0) = 1\) となります。したがって、積分は次のようになります。
\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 - \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left(1 - \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ x - \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\pi \\ &= \pi \end{align*} \]
これにより、次の結果が得られます。
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases} \]
2.2. 余弦波（cos）同士の積の証明
同様に、\(\cos(mx)\cos(nx)\) も積和の公式を使って変形できます。
\[ \cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] \]
これを積分に代入します。
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)\right] dx \]
[1]\(m \neq n\) の場合、\(\cos((m-n)x)\) と \(\cos((m+n)x)\) の積分結果は同様に0になります。
[2]\(m = n\) の場合、\(\cos((m-n)x) = \cos(0) = 1\) となるため、積分結果は次のようになります。
\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 + \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left(1 + \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ x + \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\pi \\ &= \pi \end{align*} \]
よって、次の結果が得られます。
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases} \]
