【積分】三角関数の直交性と証明について

ふゅか
ふゅか
三角関数の直交性って、なんだか聞いたことあるわ!正弦波同士や余弦波の積分結果が「直交」しているんだよね!
はるか
はるか
特に、異なる周波数の場合、積分が0。

1. 三角関数の直交性

正弦波(sin)同士の積の積分は

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$

\( m \) と \( n \) が異なる場合、積分結果は 0 になります。一方、同じ場合には積分値が \(\pi\) となります。一方で余弦波の場合も同様に、

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$

これはフーリエ級数展開と関係があります。

2. 証明

ふゅか
ふゅか
じゃあ、証明のところでは、積和の公式を使って計算を進めるんだね。最初に三角関数同士の積を変形して…次に積分?
はるか
はるか
そう。積和の公式で \(\sin(mx)\sin(nx)\) を変形してから積分する。

2.1. 正弦波(sin)同士の積の証明

まず、積和の公式を利用して、\(\sin(mx)\sin(nx)\)を以下のように変形します。

\[ \sin(mx)\sin(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] \]

この結果を使って、積分を次のように書き換えます。

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] dx \]

[1]\(m \neq n\) の場合、$\cos$は偶関数であるので、

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] \, dx \\ &= \int_{0}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)\right] \, dx \\ &= \left[\frac{1}{m-n} \sin((m-n)x) - \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x)\right]_{0}^{\pi} \\ &= 0 \end{align*} \]

したがって、\(m \neq n\) の場合、全体の積分は 0 になります。

[2]\(m = n\) の場合、\(\cos((m-n)x) = \cos(0) = 1\) となります。したがって、積分は次のようになります。

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 - \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left(1 - \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ x - \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\pi \\ &= \pi \end{align*} \]

これにより、次の結果が得られます。

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases} \]

2.2. 余弦波(cos)同士の積の証明

同様に、\(\cos(mx)\cos(nx)\) も積和の公式を使って変形できます。

\[ \cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] \]

これを積分に代入します。

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)\right] dx \]

[1]\(m \neq n\) の場合、\(\cos((m-n)x)\) と \(\cos((m+n)x)\) の積分結果は同様に0になります。

[2]\(m = n\) の場合、\(\cos((m-n)x) = \cos(0) = 1\) となるため、積分結果は次のようになります。

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 + \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi} \left(1 + \cos((m+n)x)\right) \, dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ x + \frac{1}{m+n} \sin((m+n)x) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\pi \\ &= \pi \end{align*} \]

よって、次の結果が得られます。

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases} \]

 

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