順列nPrの意味と組み合わせnCrの違い、例題について

ふゅか

順列って知ってる？例えば、$_{n}\mathrm P_{r}$のこと！

はるか

うん、重複なしでn個からr個を選んで並べる方法。

1. 順列とは

1.1. $_{n}\mathrm P_{r}$の定義

順列とは、重複を許さずにn個の中からr個を選び、その選んだ要素を特定の順番で並べる方法のことです。この並べ方の数を表すのが、$_{n}\mathrm P_{r}$と呼ばれる順列の公式です。

ここで、$n!$は$n$の階乗を表し、$n$から1までの連続する整数を掛け合わせたものです。また、$(n – r)!$は$n – r$の階乗です。

さらに、$_{n}\mathrm P_{r}$の式を展開すると次のように書くことができます。

$$ _{n}\mathrm P_{r}= n(n – 1)(n – 2) \cdots (n – r + 1) $$

つまり、nから始めて、r個の要素を選び、その要素を並べる方法を表しています。

1.2. 順列と組み合わせの違い

順列では「並べる順番」が重要です。例えば、n個の中からr個を選ぶ際、どの順番で並べるかが異なれば別の順列としてカウントされます。

一方、組み合わせでは、選んだ要素を並べる順番は考慮されません。順列と組み合わせの違いは、選んだ後に並べるかどうかにあります。順番が重要な場合は順列、順番を気にしない場合は組み合わせです。

ふゅか

組み合わせと順列って混同しやすいけど、順番が大事かどうかが鍵なんだよ！例えば、順列ではAとBを選んで並べる順番もカウントするけど、組み合わせでは並べる順番は無視されるの。

はるか

だから、選んだ後に並べるかどうかで、順列と組み合わせが違う。順列は順番、組み合わせは順番を無視。

1.3. 順列の計算例

具体的な例で順列を計算してみましょう。

$_{4}\mathrm P_{2}$を計算する場合：

$$_{4}\mathrm P_{2}= 4 \cdot 3 = 12 $$

これは、4つの要素から2つを選び、それらを並べる方法が12通りあることを意味します。

$_{8}\mathrm P_{3}$を計算する場合：

$$ _{8}\mathrm P_{3}= 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 $$

こちらは、8つの要素から3つを選び、それらを並べる方法が336通りあることを意味します。

2. 順列の例題

2.1. 例題 1：数字の並べ方

5つの中の数字から3つを並べる順列は次のように計算されます。

\[_5 \mathrm{P} _3= \frac{5!}{(5 – 3)!} = \frac{5!}{2!}= \frac{120}{2} = 60 \]

60通りの順列が考えられます。

2.2. 例題 2：アルファベットの並べ方

4つの文字列の順列は次のように計算されます。

\[ _4 \mathrm{P} _4= 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

24通りの順列が考えられます。