一次不等式 ここで、$a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$、$x$ は未知数です。この不等式を解くための手順は次の通りです。 一次不等式を解く手順 移項 等式と同様に、まず未知数 $x$ を …

ルジャンドルの定理とは 具体例 \( 10! \)を２で何回割ることができるか示す。 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{ …

床関数と天井関数 床関数 (floor function) と天井関数 (ceiling function) は、実数を整数に変換する際によく使われる関数です。それぞれ次のように定義されます。 床関数 …

方程式ax+b=0の解き方 この問題はaで場合分けが必要です。では、なぜaで場合分けが必要なのでしょうか？ 場合分けをする理由 方程式 \( ax + b = 0 \) を解く際に場合分けが必要になる …

一次方程式 ここで、$a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$、$x$ は未知数です。 一次方程式と一次関数の関係 一次方程式の解は、一次関数がy=0のときのxの値になります。 一次方程式を解く …

無理数の有理化 無理数の有理化は、主に分母の無理数を、有理数のみを含む形に変換することを指します。特に分母に平方根や立方根などの無理数が含まれている場合に用いられます。 分母に平方根しかない場合の有理 …

関数の極限の性質 まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。 関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。 \( f( …

三角関数の極限 続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\si …

ロジスティック写像 ロジスティック写像は単純なモデルでありながら、非常に複雑で多様な動作を示すため、カオス理論や数理生態学、人口動態学などの研究においてしばしば用いられます。関数$f(x) = rx( …

因数定理と微分と重解 因数定理とは 因数定理とは、多項式 \( P(x) \) が \( (x – r) \) を因数として持つ場合、その多項式の値 \( P(r) = 0 \) となる、という定理で …

半正定値行列とは 正定値行列もあり、$\mathbf{x}^T A \mathbf{x}> 0$となる。 例 例えば、実対称行列 \[ A = \begin{pmatrix} 2 & – …

多項式と剰余について考える n次の多項式 \( f(x) \) が次のように与えられているとします。 \[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_ …

組立除法とは 組立除法の例 組立除法を使って、多項式 \( 3x^3 + 5x^2 + 7x + 100 \) を \( x – 2 \) で割りましょう。 多項式の係数は \([3, 5, 7, 1 …

剰余の定理とは 剰余の定理は、多項式の除法に関連する定理です。 剰余の定理 剰余の定理の例 例えば、次の多項式を考えます。 \[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 5x + 7 \] これを …

因数定理 因数定理は、代数における多項式の性質に関する定理で、次のように述べられます。 言い換えると、もし \( f(a) = 0 \) であれば、\( f(x) \) は \( (x – a) \) …

方程式と有理数解 まず、有理数解とは、方程式の解が有理数で表されることを意味します。有理数とは、整数同士の分数として表せる数のことです。たとえば、\(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3 …