線形写像とは 線形写像の具体例 \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) の線形写像 \( f \) の具体例を示します。 例 1: 回転行列を用いた線形写像 線形写像 …

ポンピング補題 uvwxy定理や反復補題、繰り返しの定理とも呼ばれる。文脈自由言語（Context-Free Language, CFL）ではない言語を示す方法の一つとして、「ポンピング補題」がよく使 …

フーリエ級数展開とは フーリエ級数展開は、周期関数を正弦波と余弦波（または複素指数関数）の無限和として表現する方法です。 フーリエ級数展開ができる条件もありますが、ここでは割愛します。実用上、基本的に …

導関数 導関数は、ある関数が変数の変化に対してどのように変化するかを表すものです。具体的には、関数 \( f(x) \) の導関数 \( f'(x) \) は、点 \( x \) における \( f( …

極限 \( x \to 0 \) のときの極限 \[ \lim_{x \to 0} x^n e^x \] この場合、\( e^x \to 1 \) なので、 \[ \lim_{x \to 0} x^n …

はさみうちの原理とは はさみうちの原理の意味 はさみうちの原理では、ある数列 \( b_n \) の極限を直接求めるのが難しい場合に、別の2つの数列 \( a_n \) と \( c_n \) を使い …

ε-N論法とは ε-N論法の気持ち 記号 $\forall $・・・「任意の」という意味。つまり、$\forall \epsilon > 0,$とは、任意の正の値εという意味です。 $\exis …

偏微分とは 具体例 例えば、関数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \) の場合、次のように偏微分を求めます。 \( x \) に関する偏微分: \[ \frac{\partial …

フェルマーの小定理とは つまり、整数 \( a \) を素数 \( p \) で割った余りを考えたとき、\( a \) を \( p-1 \) 乗した結果の余りは常に 1 になります。 具体例 例えば …

極限 ${x \to 0}$の極限 \[ \lim_{x \to 0} x e^x = 0 \cdot e^0 = 0 \] $x \to \infty$の極限 指数関数 \( e^x \) は非常に …

双曲線関数とは 双曲線関数の性質 双曲線関数の性質1（三角関数と双曲線関数） オイラーの公式を使います。 $\begin{aligned}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix} …

期待値 期待値は、確率変数の平均値、つまり「期待される値」を表します。 連続型確率変数の期待値 ここでも、各値 \( x \) に対して、その確率密度 \( f(x) \) を掛けたものを全て積分して …

平均変化率とは これは、関数 \( f(x) \) のグラフ上の \( (x_1, f(x_1)) \) と \( (x_2, f(x_2)) \) という2つの点を結んだ直線の傾きに対応します。直線 …

微分係数 この式は、平均変化率（ある区間での関数の変化の割合）を \( \Delta x \) が限りなく小さくなるときに考えることで、微分係数を得ます。微分係数が存在する場合、関数 \( f(x) …

オイラーの公式とは オイラーの公式の証明 マクローリン展開による証明 $\sin x,\cos x,e^{ix}$をそれぞれマクローリン展開する。 $\sin x$をマクローリン展開する。 $$\si …

複数のプロットとサブプロットについて Octaveで複数プロットとサブプロットを使用することで、複数のグラフを同時に表示したり、1つのウィンドウに複数のグラフを配置することができます。以下でそれぞれの …