ド・モアブルの定理 対応関係図 ド・モアブルの定理を数式で色分けすると以下のようになります。 数学的帰納法による証明 数学的帰納法を利用して証明する。 $n=0$のとき、 $$(\cos\theta+ …

複素数平面 複素数平面は、ガウス平面や複素平面とも呼ばれることがあります。 複素数 $z = a + bi$ は、$a$ が実数部分、$b$ が虚数部分で、$i$ は虚数単位を表しています。このとき、 …

誕生日のパラドックス

組み合わせ $_{n}\mathrm C_{r}$とは？  組み合わせにおける意味 組み合わせとは、重複を許さずにn個の中からr個を選ぶことを指します。 ここでのポイントは、選んだものを順序づけていな …

順列とは $_{n}\mathrm P_{r}$の定義 順列とは、重複を許さずにn個の中からr個を選び、その選んだ要素を特定の順番で並べる方法のことです。この並べ方の数を表すのが、$_{n}\math …

階乗とは？ 階乗 (factorial) とは、ある自然数 n に対して、その数から 1 までのすべての自然数を掛け合わせた値のことを指します。数学では、階乗を \( n! \) と表記します。この記 …

二次方程式の解の公式 証明 二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$($a\neq 0$)について、平方完成を行うと、 $$\begin{align*} a\left( x^{2}+\dfrac{b} …

ソフィー・ジェルマンの恒等式 複雑な4次式を2次式の積に分解する非常に有用な恒等式です。 証明 ソフィー・ジェルマンの恒等式を証明してみましょう。 $a^{4} + 4b^{4}$ という式に$4a^ …

式の展開と文字 文字の役割 数式における文字は、変数として使用され、具体的な数値を表すこともあれば、未知数や一般的な数を表すこともあります。 変数：式の中で数値を代表する記号。例えば、\( x \)、 …

automata-lib 今回はpythonのライブラリであるautomata-libの使い方について説明させていただきます。これが使えれば、答えのないオートマトンの問題（大学の教科書）の助けになりま …

問題 積分問題 問題1 $b > 1$とする。 $\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1}{b-\ …

142857って掛け算しても巡回しない？ 「142857」という数字をご存じですか？この6桁の数には、掛け算をすると桁が巡回するという驚きの性質があります。 例えば、142857 × 2 を計算すると …

今回はAM-GM不等式(相加相乗平均）について3つの証明方法を解説します。 AM-GM不等式 AM,GMの意味 AM・・・Arithmetic Meanの略です。日本語では、算術平均や相加平均と訳され …

黄金比とは？ 黄金比と聞いて、あなたは何を思い浮かべますか？ その美しい比率は、古代ギリシャのパルテノン神殿や、現代におけるアップルのロゴなど、歴史と現代を超えてさまざまなデザインに使われています。こ …