２変数関数の偏微分の定義・具体例・例題について
1. 偏微分とは
\( x \) に関する偏微分: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) – f(x, y)}{\Delta x} \] この偏微分は、関数 \( f(x, y) \) を \( y \) を固定して \( x \) に関して微分したものです。
\( y \) に関する偏微分: \[ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta y} \] この偏微分は、関数 \( f(x, y) \) を \( x \) を固定して \( y \) に関して微分したものです。
1.1. 具体例
例えば、関数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \) の場合、次のように偏微分を求めます。
\( x \) に関する偏微分:
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + 3y^2 \]
\( y \) に関する偏微分:
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + 6xy \]
2. 例題
2.1. 例題 1: 基本的な偏微分
まず、\( x \) に関する偏微分を計算します。\( y \) は定数とみなします。
\[ \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y + 3xy^2) = 2xy + 3y^2 \]
次に、\( y \) に関する偏微分を計算します。\( x \) は定数とみなします。
\[ \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y + 3xy^2) = x^2 + 6xy \]
2.2. 例題 2: 指数関数を含む偏微分
まず、\( x \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial x} g(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} e^{x^2 + y^2} = e^{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = 2x e^{x^2 + y^2} \]
次に、\( y \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial y} g(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} e^{x^2 + y^2} = e^{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = 2y e^{x^2 + y^2} \]
2.3. 例題 3: 三角関数を含む偏微分
まず、\( x \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial x} h(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \sin(xy) = \cos(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (xy) = y \cos(xy) \]
次に、\( y \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial y} h(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \sin(xy) = \cos(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x \cos(xy) \]
2.4. 例題 4: 自然対数を含む偏微分
まず、\( x \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial x} k(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2} \]
次に、\( y \) に関する偏微分を求めます。
\[ \frac{\partial}{\partial y} k(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2} \]
