パウリ行列の定義・具体例・性質について

ふゅか

パウリ行列って何だっけ？名前は聞いたことあるけど、量子力学で使われるやつだよね？

はるか

うん。$2 \times 2$ の正方行列。

1. パウリ行列とは

2. パウリ行列の性質

2.1. パウリ行列のトレース

パウリ行列のトレース（行列の対角成分の和）はすべて $0$ です。具体的にそれぞれのトレースを計算してみましょう。

$$\mathrm{tr}(\sigma_x) = 0 + 0 = 0$$

$$\mathrm{tr}(\sigma_y) = 0 + 0 = 0$$

$$\mathrm{tr}(\sigma_z) = 1 + (-1) = 0$$

トレースが $0$ であることは、パウリ行列の対称性と量子力学におけるスピン演算子の性質に関連しています。

2.2. パウリ行列の行列式

次に、パウリ行列の行列式を確認しましょう。行列式は、行列がどの程度「回転」や「拡大・縮小」を行うかを表す指標です。パウリ行列の行列式はすべて $-1$ となります。

$$\mathrm{det}(\sigma_x) = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 – 1 = -1$$

$$\mathrm{det}(\sigma_y) = \begin{vmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{vmatrix} = 0 – (-1) = -1$$

$$\mathrm{det}(\sigma_z) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times (-1) – 0 = -1$$

2.3. 2乗すると単位行列

パウリ行列の重要な性質の一つは、それぞれの行列を自分自身と掛けると単位行列になることです。これは、次のように計算できます。

$$\sigma_x^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\sigma_y^2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\sigma_z^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

ふゅか

ところで、パウリ行列って2乗すると単位行列になるって本当？

はるか

そう。$\sigma_x^2$ も $\sigma_y^2$ も $\sigma_z^2$ も全部単位行列。

2.4. パウリ行列同士の積

パウリ行列同士を掛け合わせた場合、特定の結果が得られます。例えば、次のように計算できます。

$$\sigma_x\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = i\sigma_z$$

$$\sigma_y\sigma_z = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} = i\sigma_x$$

$$\sigma_z\sigma_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = i\sigma_y$$

このように、パウリ行列同士の積は他のパウリ行列に虚数 $i$ を掛けた形になることがわかります。

2.5. パウリ行列の積の順序

行列の積の順序を逆にすると、結果が変わることがあります。パウリ行列の場合も、積の順序を逆にすると次のような結果が得られます。

$$\sigma_y\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = -\sigma_x\sigma_y$$

$$\sigma_z\sigma_y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = -\sigma_y\sigma_z$$

$$\sigma_x\sigma_z = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\sigma_z\sigma_x$$

このように、パウリ行列同士の積では、行列の掛ける順序が逆になると符号が反転します。