ポアソン分布とモーメント母関数を利用した計算方法について
1. ポアソン分布
ポアソン分布は、単位時間内や単位空間内で発生する事象の回数を表す確率分布で、次の確率質量関数（PMF）で表されます
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]
1.1. 期待値と分散
2. モーメント母関数とは？
確率変数 \( X \) のモーメント母関数 \( M_X(t) \) は、次のように定義されます
\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \]
2.1. ポアソン分布のモーメント母関数
ポアソン分布の確率変数 \( X \) に対して、モーメント母関数を求めます。
\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \cdot P(X = k) \]
ポアソン分布の PMF を代入すると
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
これを整理します
\[ M_X(t) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} \]
ここで、指数関数のテイラー展開を用いると
\[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda e^t} \]
したがって
\[ M_X(t) = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda e^t} = e^{\lambda (e^t - 1)} \]
3. 期待値の計算
期待値 \( \mathbb{E}[X] \) は、モーメント母関数の1階微分の\( t = 0 \) を代入して求めることができます。
\[ \mathbb{E}[X] = M_X'(0) \]
\( M_X(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \) を微分します
\[ M_X'(t) = \frac{d}{dt} e^{\lambda (e^t - 1)} = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \frac{d}{dt} [\lambda (e^t - 1)] \]
\( \frac{d}{dt} [\lambda (e^t - 1)] = \lambda e^t \) なので
\[ M_X'(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]
\( t = 0 \) を代入します
\[ M_X'(0) = e^{\lambda (e^0 - 1)} \cdot \lambda e^0 = e^0 \cdot \lambda \cdot 1 = \lambda \]
したがって
\[ \mathbb{E}[X] = \lambda \]
4. 分散の計算
分散 \( \text{Var}(X) \) は、以下の式を用いて求められます
\[ \text{Var}(X) = M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \]
4.1. 2階微分を求める
まず、\( M_X”(t) \) を計算します。1階微分はすでに次のように得られています
\[ M_X'(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]
これをもう一度微分します
\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \right) \]
積の微分法則を適用すると
\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \right) \cdot \lambda e^t + e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \frac{d}{dt} \left( \lambda e^t \right) \]
それぞれの項を計算します
- \( \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \right) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \)
- \( \frac{d}{dt} (\lambda e^t) = \lambda e^t \)
したがって
\[ M_X”(t) = \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \right) \cdot \lambda e^t + e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]
これを整理すると
\[ M_X”(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t (\lambda e^t + 1) \]
4.2. \( t = 0 \) を代入
\( t = 0 \) を代入して \( M_X”(0) \) を求めます
\[ M_X”(0) = e^{\lambda (e^0 - 1)} \cdot \lambda e^0 (\lambda e^0 + 1) \]
\[ M_X”(0) = e^0 \cdot \lambda \cdot ( \lambda + 1 ) = \lambda (\lambda + 1) \]
4.3. 分散を計算
分散は次の式で求まります
\[ \text{Var}(X) = M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \]
これに \( M_X”(0) = \lambda (\lambda + 1) \) と \( M_X'(0) = \lambda \) を代入します
\[ \text{Var}(X) = \lambda (\lambda + 1) - \lambda^2 \]
\[ \text{Var}(X) = \lambda \]
