更新:2025/01/06

ポアソン分布とモーメント母関数を利用した計算方法について

はるか
はるか
ポアソン分布、単位時間内の事象の回数に関係する確率分布。
ふゅか
ふゅか
そうそう!例えば、1時間内にかかってくる電話の本数とか、そういうのを予測するのに使われるわ!

1. ポアソン分布

ポアソン分布は、単位時間内や単位空間内で発生する事象の回数を表す確率分布で、次の確率質量関数(PMF)で表されます

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]

1.1. 期待値と分散

ポアソン分布の期待値と分散はどちらも \( \lambda \) に等しいです。

$$ \mathbb E[X] = \lambda $$

$$\mathbb  V [X] = \lambda $$

2. モーメント母関数とは?

確率変数 \( X \) のモーメント母関数 \( M_X(t) \) は、次のように定義されます

\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \]

2.1. ポアソン分布のモーメント母関数

ポアソン分布の確率変数 \( X \) に対して、モーメント母関数を求めます。

\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \cdot P(X = k) \]

ポアソン分布の PMF を代入すると

\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

これを整理します

\[ M_X(t) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} \]

ここで、指数関数のテイラー展開を用いると

\[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda e^t} \]

したがって

\[ M_X(t) = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda e^t} = e^{\lambda (e^t - 1)} \]

3. 期待値の計算

はるか
はるか
期待値は、モーメント母関数の1階微分。

期待値 \( \mathbb{E}[X] \) は、モーメント母関数の1階微分の\( t = 0 \) を代入して求めることができます。

\[ \mathbb{E}[X] = M_X'(0) \]

\( M_X(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \) を微分します

\[ M_X'(t) = \frac{d}{dt} e^{\lambda (e^t - 1)} = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \frac{d}{dt} [\lambda (e^t - 1)] \]

\( \frac{d}{dt} [\lambda (e^t - 1)] = \lambda e^t \) なので

\[ M_X'(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]

\( t = 0 \) を代入します

\[ M_X'(0) = e^{\lambda (e^0 - 1)} \cdot \lambda e^0 = e^0 \cdot \lambda \cdot 1 = \lambda \]

したがって

\[ \mathbb{E}[X] = \lambda \]

4. 分散の計算

分散 \( \text{Var}(X) \) は、以下の式を用いて求められます

\[ \text{Var}(X) = M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \]

はるか
はるか
分散は、モーメント母関数の2階微分を使う。

 

4.1. 2階微分を求める

まず、\( M_X”(t) \) を計算します。1階微分はすでに次のように得られています

\[ M_X'(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]

これをもう一度微分します

\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \right) \]

積の微分法則を適用すると

\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \right) \cdot \lambda e^t + e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \frac{d}{dt} \left( \lambda e^t \right) \]

それぞれの項を計算します

  • \( \frac{d}{dt} \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \right) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \)
  • \( \frac{d}{dt} (\lambda e^t) = \lambda e^t \)

したがって

\[ M_X”(t) = \left( e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \right) \cdot \lambda e^t + e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t \]

これを整理すると

\[ M_X”(t) = e^{\lambda (e^t - 1)} \cdot \lambda e^t (\lambda e^t + 1) \]

4.2. \( t = 0 \) を代入

\( t = 0 \) を代入して \( M_X”(0) \) を求めます

\[ M_X”(0) = e^{\lambda (e^0 - 1)} \cdot \lambda e^0 (\lambda e^0 + 1) \]

\[ M_X”(0) = e^0 \cdot \lambda \cdot ( \lambda + 1 ) = \lambda (\lambda + 1) \]

4.3. 分散を計算

分散は次の式で求まります

\[ \text{Var}(X) = M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \]

これに \( M_X”(0) = \lambda (\lambda + 1) \) と \( M_X'(0) = \lambda \) を代入します

\[ \text{Var}(X) = \lambda (\lambda + 1) - \lambda^2 \]

\[ \text{Var}(X) = \lambda \]

はるか
はるか
結局、期待値と同じ値になる。
ふゅか
ふゅか
それがポアソン分布の特徴の一つだよね!
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