ポアソン過程の意味と推定について
1. ポアソン過程とは？
ポアソン過程（Poisson process）は、時間とともに発生するランダムな事象の回数をモデル化した確率過程の一種です。電話の着信回数、道路上の事故件数、ウェブサイトのアクセス数など、一定時間内に発生するランダムなイベントのモデリングに広く用いられます。
1.1. ポアソン過程の特徴
ポアソン過程 \(N_t\) は、時間 \(t\) における累積イベント数を表し、次の2つの重要な性質を満たします。
- 独立増分性（Independent Increments）: 任意の \( 0 \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n \) に対して、増分 \[ X_{t_2} - X_{t_1}, X_{t_3} - X_{t_2}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}} \] が互いに独立である。
- 定常増分性（Stationary Increments）: 任意の \( h > 0 \) に対して、 $ X_{t+h} - X_t $と$ X_h - X_0 $ の分布が同一になる。（増分の分布が時間に依存しない）。
ポアソン過程の基本形は、単位時間あたりの平均発生率（強度）を \(\lambda\) としたとき、時刻 \(t\) までに発生するイベントの回数 \(N_t\) がポアソン分布に従います。
$$ P(N_t = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0, 1, 2, \dots $$
ここで、\(\lambda\) は単位時間あたりの平均イベント発生数を示します。
2. 異なる観測方法による最尤推定
2.1. イベントの発生時刻を観測する場合
2.1.1. 観測方法
\[ f(w) = \lambda e^{-\lambda w} \quad (w \ge 0) \]
の形をもつ確率分布です。
2.1.2. 尤度関数
「観測された間隔 \(W_1, W_2, \dots, W_n\) が与えられたとき、それらが起こる確率(尤度)はどのように表せるか？」を考えます。
- 各 \(W_k\) が独立に指数分布に従うとすると、それぞれの確率密度関数は \[ \lambda e^{-\lambda W_k} \] となります。
- 「独立」という仮定のもと、全体の尤度（同時確率密度）は各確率密度の積になります。つまり \[ L(\lambda) = \prod_{k=1}^{n} \lambda e^{-\lambda W_k} = \lambda^n \exp\!\Bigl(-\lambda \sum_{k=1}^{n} W_k\Bigr) \]
2.1.3. 対数尤度
積の形は取り扱いが面倒なので、対数を取ります。そうすると掛け算が足し算に変わり、計算しやすくなります。
\[ \ell(\lambda) = \log L(\lambda) = \log \Bigl(\lambda^n \exp\!\bigl(-\lambda \sum W_k\bigr)\Bigr) = n \log \lambda - \lambda \sum_{k=1}^n W_k \]
2.1.4. 最尤推定量の導出
「この \(\ell(\lambda)\) を最大にする \(\lambda\) はいくつか？」を調べるために、\(\lambda\) について微分して0とおきます。
\[ \frac{d}{d\lambda} \ell(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{k=1}^{n} W_k = 0. \]
ここから、
\[ \frac{n}{\lambda} = \sum_{k=1}^{n} W_k. \]
\[ \lambda = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n} W_k}. \]
これが最尤推定量 \(\hat{\lambda}\) になります。
つまり、 \[ \hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n} W_k} = \frac{n}{T_n} \] は「平均的に、単位時間あたりにどのくらいイベントが起こるか」を表す最尤推定量になります。
2.2. 一定の時間間隔で観測した場合
2.2.1. 観測方法
- 時間間隔 \(h > 0\) でデータ \[ N_0,\, N_h,\, N_{2h},\, \dots,\, N_{nh} \] を観測するとします。
- それぞれの区間 \([ (k-1)h,\, k h )\) におけるイベントの回数を \[ M_k = N_{k h} - N_{(k-1) h} \] と定義します。
2.2.2. 尤度関数
- 各 \(M_k\) は、パラメータ \(\lambda\) のポアソン分布に従います。つまり、\[ P(M_k = m) \;=\; \frac{(\lambda h)^m}{m!}\,\mathrm{e}^{-\lambda h} \]
- \(k = 1, 2, \dots, n\) についての積をとった尤度関数 \(L(\lambda)\) は、\[ L(\lambda) \;=\; \prod_{k=1}^n \frac{(\lambda h)^{M_k} \mathrm{e}^{-\lambda h}}{M_k!} \]
- 対数を取った対数尤度関数 \(\ell(\lambda)\) は、\[ \ell(\lambda) \;=\; \sum_{k=1}^n M_k \log (\lambda h) \;-\; \lambda h\,n \;-\; \sum_{k=1}^n \log M_k!\]
2.2.3. 最尤推定量の導出
- \(\ell(\lambda)\) を \(\lambda\) で微分して 0 と置くと、\[ \frac{d}{d\lambda}\,\ell(\lambda) \;=\; \frac{1}{\lambda}\,\sum_{k=1}^n M_k \;-\; h\,n \;=\; 0 \]
- これを解くと、最尤推定量 \(\hat{\lambda}\) は\[ \hat{\lambda} \;=\; \frac{1}{n\,h}\,\sum_{k=1}^n M_k \]
- ここで、 \[ \sum_{k=1}^n M_k \;=\; \sum_{k=1}^n \bigl(N_{k h} - N_{(k-1)h}\bigr) \;=\; N_{n h} - N_0 \] ですが、初期値 \(N_0\) を 0 と考えると、単に \(\sum_{k=1}^n M_k = N_{n h}\) となるので、\[\hat{\lambda}=\frac{N_{n h}}{n h} \]
