更新:2025/02/25

「母平均」と「母分散」の意味と違いについて

$はるか$

はるか

母平均と母分散って知ってる？

$ふゅか$

ふゅか

もちろん！母平均は、母集団のデータの平均値よね。で、母分散はデータのばらつきを示す指標よ！

1. 母平均と母分散について

統計学において、「母平均」と「母分散」は、ある集団（母集団）の特徴を表す基本的な指標です。ここでは、それぞれの意味や計算方法について詳しく説明します。

母平均とは、母集団に含まれるすべてのデータの平均値のことを指します。

母集団のサイズを $ N $、各データを $ x_1, x_2, \dots, x_N $ とすると、母平均 $ \mu $ は次の式で求められます。

\[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]

つまり、すべてのデータの総和を、データの個数で割った値が母平均になります。

母分散とは、母集団に含まれるデータが、母平均からどの程度ばらついているかを示す指標です。

母分散 $ \sigma^2 $ は次の式で求められます。

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \]

この式の意味は以下の通りです。

実際のデータ分析では、母集団全体のデータを取得することが難しい場合が多いため、一部のデータ（標本）を用いて分析を行うことが一般的です。そのため、母平均や母分散を標本平均や標本分散で推定する場合があります。

標本分散は、母分散とは計算式が異なり、分母を $ N-1 $ にするのが一般的です（不偏分散）。

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

$はるか$

はるか

現実では、母集団全体のデータを集めるのは難しい。だから標本を使う。

指標	記号	計算式
母平均	$ \mu $	$ \mu = \frac{1}{N} \sum x_i $
母分散	$ \sigma^2 $	$ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (x_i - \mu)^2 $

母平均は「データの代表的な値」、母分散は「データのばらつきの大きさ」を示す指標です。

指標	記号	計算式
母平均	\( \mu \)	\( \mu = \frac{1}{N} \sum x_i \)
母分散	\( \sigma^2 \)	\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (x_i - \mu)^2 \)