三角形の内部の点の位置ベクトルと面積比について
1. 面積比と位置ベクトル
三角形ABCの面積を \( S_{\text{三角形ABC}} \) と表します。内部の点Pを用いて、三角形ABCの面積を次のように分割するとします。
\[ S_{\text{三角形BCP}} : S_{\text{三角形ACP}} : S_{\text{三角形ABP}} = \alpha : \beta : \gamma \]
これは、三角形ABCを点Pで3つの小さな三角形に分けたとき、それぞれの三角形の面積比が \( \alpha : \beta : \gamma \) になることを意味します。以下の図は、その面積比を表現しています。
点Pの位置ベクトル \( \vec{p} \) は、三角形ABCの頂点 \( A \), \( B \), \( C \) の位置ベクトル \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) と、面積比 \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) を使って、次のように表すことができます。
\[ \vec{p} = \frac{\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}}{\alpha + \beta + \gamma} \]
1.1. 証明
まず、三角形ABCの面積を \( S \) とし、線分 \( AP \) を延長して、辺 \( BC \) と交わる点を \( D \) とします。
三角形 \( APB \) の面積は次のように表されます。
\[ S_{\text{三角形APB}} = \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} S \]
また、三角形 \( PAC \) の面積は次のようになります。
\[ S_{\text{三角形PAC}} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} S \]
したがって、三角形 \( ABD \) の面積は次のように求められます。
\[ S_{\text{三角形ABD}} = S_{\text{三角形APB}} \times \frac{PD}{AP} = \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} S \times \frac{PD}{AP} \]
同様に、三角形 \( ACD \) の面積は次のようになります。
\[ S_{\text{三角形ACD}} = S_{\text{三角形PAC}} \times \frac{PD}{AP} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} S \times \frac{PD}{AP} \]
このことから、辺 \( BD \) と \( DC \) の比は、以下のように三角形の面積比で表されます。
$$\begin{align*} BD : DC &= S_{\text{三角形ABD}} : S_{\text{三角形ACD}} \\ &= \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} S \times \frac{PD}{AP} : \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} S \times \frac{PD}{AP} \\ &= \gamma : \beta \end{align*}$$
点 \( D \) は辺 \( BC \) を \( \gamma : \beta \) に内分するため、点 \( D \) の内分点の位置ベクトルは次のように表されます。
\[ \overrightarrow{AD} = \frac{\beta \overrightarrow{AB} + \gamma \overrightarrow{AC}}{\beta + \gamma} \]
ここから、次に \( PD : AD \) の比について考えます。これは三角形 \( BCP \) と三角形 \( ABC \) の面積比と等しくなります。
$$\begin{align*} PD : AD &= S_{\text{三角形BCP}} : S_{\text{三角形ABC}} \\ &= (\alpha + \beta + \gamma) : \alpha \end{align*}$$
さらに、\( AP : AD \) の比を求めると、
$$\begin{align*} AP : AD &= AD - PD : AD \\ &= \alpha + \beta + \gamma - \alpha : \alpha \\ &= \beta + \gamma : \alpha + \beta + \gamma \end{align*}$$
これにより、次の関係式が成り立ちます。
\[ AP = \frac{\beta + \gamma}{\alpha + \beta + \gamma} AD\]
したがって、点 \( P \) の位置ベクトルは以下のように表されます。
\[ \overrightarrow{AP} = \frac{\beta + \gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{AD} \]
これをさらに展開すると、
\[ \overrightarrow{AP} = \frac{\beta + \gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \times \frac{\beta \overrightarrow{AB} + \gamma \overrightarrow{AC}}{\beta + \gamma} \]
\[ \overrightarrow{AP} = \frac{\beta \overrightarrow{AB} + \gamma \overrightarrow{AC}}{\alpha + \beta + \gamma} \]
このようにして、ベクトルを分解して点Pの位置ベクトルを求めることができます。
点Pの位置ベクトル \( \vec{p} \) 、三角形ABCの頂点 \( A \), \( B \), \( C \) の位置ベクトル \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) とすると、
$$\begin{align*} \vec{p} - \vec{a} &= \frac{\beta (\vec{b} - \vec{a}) + \gamma (\vec{c} - \vec{a})}{\alpha + \beta + \gamma} \\ \vec{p} &= \frac{(\alpha + \beta + \gamma)\vec{a} + \beta (\vec{b} - \vec{a}) + \gamma (\vec{c} - \vec{a})}{\alpha + \beta + \gamma} \\ \vec{p} &= \frac{(\alpha + \beta + \gamma - \beta - \gamma)\vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}}{\alpha + \beta + \gamma} \\ \vec{p} &= \frac{\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}}{\alpha + \beta + \gamma} \end{align*}$$
2. 使用例
2.1. 重心の位置ベクトル
$$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{1+ 1+ 1} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$
2.2. 内心の位置ベクトル
三角形ABCにおいて、各辺BC, AC, ABをそれぞれ\( a \), \( b \), \( c \)とします。また、三角形の内心を\( I \)、内接円の半径を\( r \)とします。まず、三角形の内心\( I \)で分割した三角形の面積はそれぞれ
\[ S_{\text{三角形BCI}} = \frac{1}{2}ra \]
\[ S_{\text{三角形ACI}} = \frac{1}{2}rb \]
\[ S_{\text{三角形ABI}} = \frac{1}{2}rc \]
三角形の面積比は
\[ S_{\text{三角形BCI}} : S_{\text{三角形ACI}} : S_{\text{三角形ABI}} = \alpha : \beta : \gamma = a : b : c \]
したがって、点$I$の位置ベクトル\( \vec{i} \)は、次の式で表されます。
\[ \vec{i} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a + b + c} \]
