はさみうちの原理の定義・証明・意味・例題について

はるか

はさみうちの原理って、数列や関数の極限を直接求めるのが難しいときに便利。

ふゅか

そう！2つの他の数列で挟み込んで、それが同じ極限に収束すれば、挟まれてるものも同じ極限にたどり着くってことよね♪

1. はさみうちの原理とは

1.1. はさみうちの原理の意味

はさみうちの原理では、ある数列 \( b_n \) の極限を直接求めるのが難しい場合に、別の2つの数列 \( a_n \) と \( c_n \) を使います。この2つの数列が \( b_n \) を上下から挟んでいて、さらに両者が同じ極限値 \( \alpha \) に収束するなら、挟まれている数列 \( b_n \) も同じ極限 \( \alpha \) に収束することを示します。

1.2. はさみうちの原理の証明

数列 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、および \(\{c_n\}\) について、全ての \(n\) に対して \(a_n \leq b_n \leq c_n\) が成り立っていると仮定します。さらに、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\) および \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha\) であると仮定します。このとき、ε-N論法を利用して次が成り立つことを示します。

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, \text{such that} \ n > N \Rightarrow |b_n – \alpha| < \epsilon \]

\(a_n\) と \(c_n\) の極限は次のようになります。

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, \text{such that} \ n > N \Rightarrow |a_n – \alpha| < \epsilon \]

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, \text{such that} \ n > N \Rightarrow |c_n – \alpha| < \epsilon \]

仮定より、すべての \(n\) に対して \(a_n \leq b_n \leq c_n\) が成り立っているため、\(n \geq N\) では次の不等式が成り立ちます。

\[ \alpha – \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < \alpha + \varepsilon \]

したがって、

\[ \alpha – \varepsilon < b_n < \alpha + \varepsilon \]

これは、

\[ |b_n – \alpha| < \varepsilon \]

を意味します。

よって、任意の \(\varepsilon > 0\) に対して、適切な \(N\) を選べば、\(n \geq N\) で \(|b_n – \alpha| < \varepsilon\) が成り立つことが示されました。すなわち、

\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \]

2. 例題

ふゅか

それで、この原理が具体的にどう使われるか知りたいわ。例題とか、なんかない？

はるか

例えば、$\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) $。挟まれてる形を使って解く。

まず、関数 \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) は \( -1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \) であることより、次の不等式が成立します。

\[ -x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \]

両端の関数の極限を求めます。

\[ \lim_{x \to 0} -x^2 = 0, \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]

はさみうちの原理により、

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \]