離散型確率変数と確率質量関数の性質・具体例について

1. 確率質量関数とは

確率質量関数は、離散型確率変数の取り得る各値に対する確率を表す関数です。確率質量関数の定義は次の通りです。

2. 確率質量関数の性質

ふゅか

例えば、確率質量関数にはいくつかの性質があるんだけど、０以上ということだね！

はるか

確率質量関数は確率を表しているから０以上。

2.1. 確率質量関数は0以上

確率質量関数 \( f(x) \) は、ある離散確率変数 \( X \) が値 \( x \) を取る確率を表します。確率の基本性質から、確率は0以上であるため、\( f(x) \) は常に0以上になります。すなわち、

\[ f(x) = P(X = x) \geq 0 \]

2.2. 確率質量関数の和

確率変数 \( X \) が取り得るすべての値 \( x \) に対して、確率の和は1になります。

したがって、 \[ \sum_{x} f(x) = \sum_{x} P(X = x) = 1 \]

3. 具体例

3.1. サイコロ

サイコロの各面が等確率になる6面サイコロを振ったときの出目 \( X \) は1から6までの整数です。このときの確率質量関数は

\[ f(x) = P(X = x) = \frac{1}{6} \quad (x = 1, 2, 3, 4, 5, 6) \]

となります。

3.2. コイン

コインを1回投げたときの表 \( H \) と裏 \( T \) を表す確率変数 \( Y \) について、確率質量関数は

\[ f(y) = \begin{cases} \frac{1}{2} & (y = H) \\ \frac{1}{2} & (y = T) \end{cases} \]

となります。

連続型確率変数に対しては確率密度関数が用いられます。