更新:2024/09/24

総乗(積)の記号Πの意味と性質、例題について

ふゅか
ふゅか
総乗記号って何だか覚えてる?
はるか
はるか
うん、数の積を表す記号で、\(\prod\) で書く。初めて見たときはびっくりした。
ふゅか
ふゅか
そうそう!和を表すシグマに似ているけど、積を表すんだよね。

1. 総乗

総乗記号とは、数式中で「積」を表す記号のことで、特に複数の数や式を掛け合わせるときに使用されます。英語では「Product notation」と呼ばれ、記号 \(\prod\) で表されます。これは総和記号 \(\sum\) に対応するもので、総和記号が「和」を表すのに対し、総乗記号は「積」を表します。

\(\prod\)はギリシャ語でπの大文字を意味します。

1.1. 総乗記号の形式

総乗記号は次のように書かれます。

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i \]

これは、「\(i\) が 1 から \(n\) までの全ての \(a_i\) の積」を意味します。具体的には、次のように展開されます。

\[ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n \]

この式の意味は、\(i\) が 1 から \(n\) まで変化する間に、各 \(a_i\) を掛け合わせるということです。

1.2. 式の意味

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i \]

  • \( i \):これは変数で、掛け算を行うときに使われる「インデックス」や「添え字」と呼ばれます。最初は \( i = 1 \) から始まり、1ずつ増えていきます。
  • \( n \):これは上限値を示す数です。つまり、総乗がどこまで行われるかを指定します。ここでは、総乗が \( i = 1 \) から \( i = n \) まで行われます。
  • \( a_i \):この \( a_i \) は、掛け算の対象となる値です。 \( i \) の値が変わるごとに、それに応じた \( a_i \) の値が取られます。

1.3. 具体例

\[ \prod_{i=1}^{4} a_i \]

この式は、次のように展開されます。

\[ a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 \]

  • \( i = 1 \) のとき \( a_1 \)
  • \( i = 2 \) のとき \( a_2 \)
  • \( i = 3 \) のとき \( a_3 \)
  • \( i = 4 \) のとき \( a_4 \)

したがって、1から4までの \( a_i \) をすべて掛け合わせるという意味になります。

1.4. 計算例

例えば、\(i = 1\) から \(i = 4\) までの数 \(i\) の総乗を考える場合、次のように表されます:

\[ \prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]

また、\(  i + 1\) の場合

\[ \prod_{i=1}^{3}   i + 1 = (1+1) \cdot (2+1) \cdot (3+1) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]

2. 総乗の性質

はるか
はるか
総乗にはどんな性質がある?
ふゅか
ふゅか
乗法の結合性や指数法則との関係など、いろいろな性質があるよ!

2.1. 乗法の結合性

積の順序を変えても結果は変わりません。

\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) = \left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^{n} b_i\right) \]

乗法の結合性と呼ばれます。

左辺の式は

\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) = (a_1 \cdot b_1) \cdot (a_2 \cdot b_2) \cdot \dots \cdot (a_n \cdot b_n) \]

となります。掛け算の順序は交換可能(可換)であるので、

\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) =(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n) \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n) \]

これは次のように表すことができます。

\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) =\left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^{n} b_i\right) \]

2.2. 指数法則との関係

総乗において各項が同じ指数を持つ場合、積の全体にその指数を適用することができます。

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \]

はるか
はるか
各項が同じ指数を持つとき、積全体にその指数を適用できる。

左辺の式は次のように与えられています。

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k \]

これは、各 \(a_i\) を \(k\) 乗した積を意味します。すなわち、

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k=a_1^k \cdot a_2^k \cdot \dots \cdot a_n^k \]

ここで、指数法則より、積をまとめると

\[\begin{align*} \prod_{i=1}^{n} a_i^k &= (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^k \\ &= \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \end{align*} \]

したがって、

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \]


例えば、

\[\prod_{i=1}^{3} i^2 = (1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2) = (1 \cdot 2 \cdot 3)^2 = 36\]

となります。

2.3. 範囲分割

総乗は範囲を分割することができます。

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = \left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \]

左辺の式は

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n \]

この積を、 \(1\) から \(k\) までの部分と、\(k+1\) から \(n\) までの部分に分けると

\[ \begin{align*}\prod_{i=1}^{n} a_i &=(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_k) \cdot (a_{k+1} \cdot a_{k+2} \cdot \dots \cdot a_n) \\ &=\left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \end{align*} \]

したがって、

\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = \left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \]


例えば、次のように分割できます。

\[ \prod_{i=1}^{4} i = (1 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24 \]

2.4. 定数の総乗

すべての要素が同じ定数 \(c\) の場合、

\[ \prod_{i=1}^{n} c = c^n \]

例えば、\( \prod_{i=1}^{3} 2 = 2^3 = 8 \) となります。

2.5. 線形性

一般に線形性は成り立ちません。

\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i + b_i) \neq \prod_{i=1}^{n} a_i + \prod_{i=1}^{n} b_i \]

例えば \(n = 2\) の場合、次のように展開できます。

\[ (a_1 + b_1)(a_2 + b_2) = a_1 a_2 + a_1 b_2 + b_1 a_2 + b_1 b_2 \]

次に右辺 \(\prod_{i=1}^{n} a_i + \prod_{i=1}^{n} b_i\) を考えます。

\[ a_1 a_2 + b_1 b_2 \]

このように、左辺と右辺は異なる結果になります。

実際に \(n = 2\) の場合で具体的な数値を考えます。

例えば、\(a_1 = 1\)、\(a_2 = 2\)、\(b_1 = 3\)、\(b_2 = 4\) のとき、

  • 左辺は: \[ (1 + 3)(2 + 4) = 4 \times 6 = 24 \]
  • 右辺は: \[ 1 \times 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 \]

このように、左辺と右辺は異なる結果になります。

2.6. 階乗との関係

階乗 \(n!\) は次のように総乗で表せます。

\[ n! = \prod_{i=1}^{n} i \]

例えば、\(\prod_{i=1}^{5} i= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 =5! \) です。

2.7. 総和と総乗の変換

総和$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i $に対して指数関数を適用すると総乗に変換されます。

\[ \exp\left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) = \prod_{i=1}^{n} \exp(x_i) \]

総乗$ \displaystyle\prod_{i=1}^{n} x_i $に対して対数を適用すると総和に変換されます。

\[ \log\left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \log(x_i) \]

2.8. 上昇階乗冪との関係

\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = \frac{(n+a)!}{a!} = (a+1)^{\overline n} \]

$(a+1)^{\overline n}$は上昇階乗冪を表します。

左辺は、次のように展開できます。

\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = (1+a)(2+a)(3+a)\cdots(n+a) \]

一方で、右辺は

\[ \begin{align*} \frac{(n+a)!}{a!} &= \frac{ (n+a)(n+a-1)(n+a-2)\cdots(a+1)a! }{a!} \\ &=(n+a)(n+a-1)\cdots(a+1)\\ &=\prod_{i=1}^{n} (i+a) \end{align*}\]

したがって、

\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = \frac{(n+a)!}{a!} \]

また、ガンマ関数を使って、次のように表すことができる。

\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = \frac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(a+1)} \]

 

3. 例題

総乗記号を用いず計算しなさい。

\[ \prod_{k=1}^{n} k^2+nk \]

式は次のように分解すると、

\[ \prod_{k=1}^{n} k(k + n) = \left( \prod_{k=1}^{n} k \right) \times \left( \prod_{k=1}^{n} (k + n) \right) \]

ここで、\(\prod_{k=1}^{n} k = n!\) です。また、 \(\prod_{i=1}^{n} (i + n) = \frac{(2n)!}{n!}\) より、

\[ \prod_{k=1}^{n} k(k + n) = n! \times \frac{(2n)!}{n!} = (2n)!\]

このようにして、与えられた積の結果は \( (2n)! \) となります。

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