総乗（積）の記号Πの意味と性質、例題について
1. 総乗
総乗記号とは、数式中で「積」を表す記号のことで、特に複数の数や式を掛け合わせるときに使用されます。英語では「Product notation」と呼ばれ、記号 \(\prod\) で表されます。これは総和記号 \(\sum\) に対応するもので、総和記号が「和」を表すのに対し、総乗記号は「積」を表します。
\(\prod\)はギリシャ語でπの大文字を意味します。
1.1. 総乗記号の形式
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i \]
これは、「\(i\) が 1 から \(n\) までの全ての \(a_i\) の積」を意味します。具体的には、次のように展開されます。
\[ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n \]
この式の意味は、\(i\) が 1 から \(n\) まで変化する間に、各 \(a_i\) を掛け合わせるということです。
1.2. 式の意味
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i \]
- \( i \)：これは変数で、掛け算を行うときに使われる「インデックス」や「添え字」と呼ばれます。最初は \( i = 1 \) から始まり、1ずつ増えていきます。
- \( n \)：これは上限値を示す数です。つまり、総乗がどこまで行われるかを指定します。ここでは、総乗が \( i = 1 \) から \( i = n \) まで行われます。
- \( a_i \)：この \( a_i \) は、掛け算の対象となる値です。 \( i \) の値が変わるごとに、それに応じた \( a_i \) の値が取られます。
1.3. 具体例
\[ \prod_{i=1}^{4} a_i \]
この式は、次のように展開されます。
\[ a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 \]
- \( i = 1 \) のとき \( a_1 \)
- \( i = 2 \) のとき \( a_2 \)
- \( i = 3 \) のとき \( a_3 \)
- \( i = 4 \) のとき \( a_4 \)
したがって、1から4までの \( a_i \) をすべて掛け合わせるという意味になります。
1.4. 計算例
例えば、\(i = 1\) から \(i = 4\) までの数 \(i\) の総乗を考える場合、次のように表されます：
\[ \prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]
また、\( i + 1\) の場合
\[ \prod_{i=1}^{3} i + 1 = (1+1) \cdot (2+1) \cdot (3+1) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]
2. 総乗の性質
2.1. 乗法の結合性
\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) = \left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^{n} b_i\right) \]
乗法の結合性と呼ばれます。
左辺の式は
\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) = (a_1 \cdot b_1) \cdot (a_2 \cdot b_2) \cdot \dots \cdot (a_n \cdot b_n) \]
となります。掛け算の順序は交換可能（可換）であるので、
\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) =(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n) \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n) \]
これは次のように表すことができます。
\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i \cdot b_i) =\left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^{n} b_i\right) \]
2.2. 指数法則との関係
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \]
左辺の式は次のように与えられています。
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k \]
これは、各 \(a_i\) を \(k\) 乗した積を意味します。すなわち、
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k=a_1^k \cdot a_2^k \cdot \dots \cdot a_n^k \]
ここで、指数法則より、積をまとめると
\[\begin{align*} \prod_{i=1}^{n} a_i^k &= (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^k \\ &= \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \end{align*} \]
したがって、
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i^k = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^k \]
例えば、
\[\prod_{i=1}^{3} i^2 = (1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2) = (1 \cdot 2 \cdot 3)^2 = 36\]
となります。
2.3. 範囲分割
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = \left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \]
左辺の式は
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n \]
この積を、 \(1\) から \(k\) までの部分と、\(k+1\) から \(n\) までの部分に分けると
\[ \begin{align*}\prod_{i=1}^{n} a_i &=(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_k) \cdot (a_{k+1} \cdot a_{k+2} \cdot \dots \cdot a_n) \\ &=\left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \end{align*} \]
したがって、
\[ \prod_{i=1}^{n} a_i = \left( \prod_{i=1}^{k} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i=k+1}^{n} a_i \right) \]
例えば、次のように分割できます。
\[ \prod_{i=1}^{4} i = (1 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24 \]
2.4. 定数の総乗
\[ \prod_{i=1}^{n} c = c^n \]
例えば、\( \prod_{i=1}^{3} 2 = 2^3 = 8 \) となります。
2.5. 線形性
\[ \prod_{i=1}^{n} (a_i + b_i) \neq \prod_{i=1}^{n} a_i + \prod_{i=1}^{n} b_i \]
例えば \(n = 2\) の場合、次のように展開できます。
\[ (a_1 + b_1)(a_2 + b_2) = a_1 a_2 + a_1 b_2 + b_1 a_2 + b_1 b_2 \]
次に右辺 \(\prod_{i=1}^{n} a_i + \prod_{i=1}^{n} b_i\) を考えます。
\[ a_1 a_2 + b_1 b_2 \]
このように、左辺と右辺は異なる結果になります。
実際に \(n = 2\) の場合で具体的な数値を考えます。
例えば、\(a_1 = 1\)、\(a_2 = 2\)、\(b_1 = 3\)、\(b_2 = 4\) のとき、
- 左辺は： \[ (1 + 3)(2 + 4) = 4 \times 6 = 24 \]
- 右辺は： \[ 1 \times 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 \]
このように、左辺と右辺は異なる結果になります。
2.6. 階乗との関係
\[ n! = \prod_{i=1}^{n} i \]
例えば、\(\prod_{i=1}^{5} i= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 =5! \) です。
2.7. 総和と総乗の変換
\[ \exp\left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) = \prod_{i=1}^{n} \exp(x_i) \]
総乗$ \displaystyle\prod_{i=1}^{n} x_i $に対して対数を適用すると総和に変換されます。
\[ \log\left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \log(x_i) \]
2.8. 上昇階乗冪との関係
$(a+1)^{\overline n}$は上昇階乗冪を表します。
左辺は、次のように展開できます。
\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = (1+a)(2+a)(3+a)\cdots(n+a) \]
一方で、右辺は
\[ \begin{align*} \frac{(n+a)!}{a!} &= \frac{ (n+a)(n+a-1)(n+a-2)\cdots(a+1)a! }{a!} \\ &=(n+a)(n+a-1)\cdots(a+1)\\ &=\prod_{i=1}^{n} (i+a) \end{align*}\]
したがって、
\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = \frac{(n+a)!}{a!} \]
また、ガンマ関数を使って、次のように表すことができる。
\[ \prod_{i=1}^{n} (i+a) = \frac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(a+1)} \]
3. 例題
\[ \prod_{k=1}^{n} k^2+nk \]
式は次のように分解すると、
\[ \prod_{k=1}^{n} k(k + n) = \left( \prod_{k=1}^{n} k \right) \times \left( \prod_{k=1}^{n} (k + n) \right) \]
ここで、\(\prod_{k=1}^{n} k = n!\) です。また、 \(\prod_{i=1}^{n} (i + n) = \frac{(2n)!}{n!}\) より、
\[ \prod_{k=1}^{n} k(k + n) = n! \times \frac{(2n)!}{n!} = (2n)!\]
このようにして、与えられた積の結果は \( (2n)! \) となります。
