更新:2025/04/03

2変数関数の極値を求める方法の証明について

2変数関数 $ f(x, y) $ の「極値」（極大値・極小値）を求めるには、大まかに次の2段階の手順を踏みます。

臨界点を見つける
まずは 1階偏導関数 $ f_x $ と $ f_y $ を考え、それらが同時に 0 となる点（臨界点）を探します。
2階偏導関数による判定
見つかった臨界点で 2階偏導関数（$ f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} $）を調べます。

以下では、この2段階の手順とテイラー展開による証明の流れを詳しく見ていきましょう。

1. 2変数関数の極値を求める方法
1.1. 証明の方針
2. 極値を求める方法の証明

1. 2変数関数の極値を求める方法

まず、点 $(a, b)$ において \[ f_x(a, b) = 0,\quad f_y(a, b) = 0 \] とします。

$A,B,C$を次のようにする。

\[ A = f_{xx}(a, b),\quad B = f_{xy}(a, b),\quad C = f_{yy}(a, b),\quad D = B^2 – AC \]

このとき、次の条件が成り立ちます。

A > 0 かつ D < 0 のとき、$f(a, b)$ は極小値をとる
A < 0 かつ D < 0 のとき、$f(a, b)$ は極大値をとる
D > 0 のとき、$f(a, b)$ は極値でない

$はるか$

はるか

極値の話、少しややこしいけど、$ f_x(a, b) = 0 $ と $ f_y(a, b) = 0 $ をまず確認するだけだよ。

$ふゅか$

ふゅか

そうそう！この2つの式が成り立ったら、その点が極値の候補ってことよね。そこから $ A, B, C $ を使って判断していくのね。

$はるか$

はるか

うん。あとは条件に従って、極大値か極小値かを判断。

$ふゅか$

ふゅか

例えば $ A > 0 $ で $ D < 0 $ なら極小値！逆に $ A < 0 $ で $ D < 0 $ なら極大値！

1.1. 証明の方針

次のような式 $ f(a + h, b + k) – f(a, b) $ を考えます。この差が正の値である場合、次の不等式が成り立ちます。

\[ f(a + h, b + k) – f(a, b) > 0 \]

したがって、

\[ f(a + h, b + k) > f(a, b) \]

つまり、点 $ (a, b) $ で関数が周囲の点よりも小さな値（極小値）をとっていることになります。

一方で、式 $ f(a + h, b + k) – f(a, b) $ が負の値となる場合、次の不等式が成り立ちます。

\[ f(a + h, b + k) – f(a, b) < 0 \]

このとき、

\[ f(a + h, b + k) < f(a, b) \]

つまり、点 $ (a, b) $ では関数が周囲の点よりも大きな値（極大値）をとることを意味します。

これらを証明で示します。

$ふゅか$

ふゅか

テイラー展開も使うって聞いたけど、どう関わってくるの？

$はるか$

はるか

テイラー展開は、関数の値を $ (a, b) $ の近くでどう変化するかを調べるのに使う。

$ふゅか$

ふゅか

なるほど〜！その展開から $ h $ と $ k $ を使って差を考えるんだね。それで周りの点と比較して極値を判断するんだ！

$はるか$

はるか

そう。小さい範囲での変化を詳しく調べる感じ。

2. 極値を求める方法の証明

まず、 \[ f_x(a, b) = 0,\quad f_y(a, b) = 0 \] とします。これを (1) とします。

2変数関数のテイラーの定理を用いて、関数 $f(a + h, b + k)$ を展開します。

\[ f(a + h, b + k) = f(a, b) + \frac{1}{1!}(h f_x(a, b) + k f_y(a, b)) + \frac{1}{2!}\left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(a, b) + \cdots + R_{n+1} \] ただし、剰余項 $R_{n+1}$ は次のようになります。

\[ R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f(a + \theta h, b + \theta k) \]

ここで $0 < \theta < 1$とする。

$n = 1$ の場合を考えると、

\[ f(a + h, b + k) – f(a, b) = h f_x(a, b) + k f_y(a, b) + R_2 \] (1) より $f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0$

なので、 \[ f(a + h, b + k) – f(a, b) = R_2 \] 剰余項 $R_2$ を計算すると、

\[ R_2 = \frac{1}{2}(h^2 f_{xx}(a + \theta h, b + \theta k) + 2 h k f_{xy}(a + \theta h, b + \theta k) + k^2 f_{yy}(a + \theta h, b + \theta k)) \]

ここで、$0 < \theta < 1$ です。

$h$ と $k$ が十分小さいと仮定すると、

\[ \begin{align*} f_{xx}(a + \theta h, b + \theta k) &\approx f_{xx}(a, b) = A \\ f_{xy}(a + \theta h, b + \theta k) &\approx f_{xy}(a, b) = B \\ f_{yy}(a + \theta h, b + \theta k) &\approx f_{yy}(a, b) = C \end{align*} \]

したがって、

\[ f(a + h, b + k) – f(a, b) = \frac{1}{2}(A h^2 + 2B h k + C k^2) \]

となります。

この式の符号は、$A$、$B$、$C$ の値によって決まります。

平方完成を行うと、 \[ A h^2 + 2B h k + C k^2 = A\left(h + \frac{B}{A}k\right)^2 – \frac{D}{A}k^2 \] ここで $D = B^2 – A C$ です。

この式から、以下の3つの場合を考えます。

A > 0 かつ D < 0 のとき：

$A > 0$ なので $A\left(h + \frac{B}{A}k\right)^2 \geq 0$

$-\frac{D}{A}k^2$ は正の値（なぜなら $D < 0$ かつ $A > 0$）

したがって、$f(a + h, b + k) – f(a, b) > 0$

よって、$f(a, b)$ は極小値をとる。