二次関数とは？最小値と最大値、グラフについて

ふゅか

二次関数って何か簡単に教えてもらえる？

はるか

二次の多項式で表される関数。

1. 二次関数

ここで、\(a\), \(b\), \(c\) は定数で、特に \(a \neq 0\) であることが重要です。

仮に\(a = 0\) の場合は、二次関数ではなく一次関数になってしまいます。

1.1. 二次関数のグラフ

ふゅか

二次関数のグラフって、どんな形になるの？

はるか

放物線。

1.2. 具体的なグラフ

具体的に、二次関数はどんなグラフになるのか見ていきましょう。

\( y = x^2 \)

この関数は最も基本的な二次関数です。グラフは頂点が原点 \( (0, 0) \) にある放物線で、下に凸です。

頂点は最小値であり、\( y = 0 \) です。

ふゅか

基本的な二次関数、\( y = x^2 \) のグラフはどうなるの？

はるか

原点 \( (0, 0) \) を頂点に持つ、下に凸な放物線。

ふゅか

ふむふむ、頂点が最小値で、\( y = 0 \) になるんだね！じゃあ、次は \( y = x^2 + 3x \) を見てみよう♪

\( y = x^2 + 3x \)

この関数は \( x^2 \) に \( 3x \) が加わったもので、放物線の形は$x^2$と変わらないものの、原点から少しずれています。

頂点は \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \) に位置しており、原点より低い位置にあります。

はるか

このグラフは少しずれて、頂点が \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \)。

ふゅか

なるほど〜。原点からずれてるけど、基本の形は変わらないんだね！最後に \( y = -x^2 + 2x \) を見てみよう！

\( y = -x^2 + 2x \)

この関数は \( x^2 \) にマイナス符号がついたもので、上の2つのグラフとは異なり、二次関数が上に凸になっています。

頂点は \( (1, 1) \) にあり、この点がグラフの最高点（最大値）となり、原点より高い位置にあります。

ふゅか

このグラフは上に凸になってる！

はるか

そう。頂点は \( (1, 1) \) で、この点が最大値。

ふゅか

へぇ〜、上に凸だと最大値が存在するんだね。

2. 最大値と最小値

二次関数の最大値と最小値については、放物線の 頂点 を基に考えることができます。

2.1. 最小値（\(a > 0\) の場合）

下に凸になる放物線（\(a > 0\)）では、放物線の頂点が 最小値 となります。

このとき、二次関数は 全体で最小値を持ちます が、最大値は存在しません。

2.2. 最大値（\(a < 0\) の場合）

上に凸になる放物線（\(a < 0\)）では、頂点が 最大値 となります。

この場合、最大値は存在しますが、最小値は存在しません。

2.3. まとめ

• \(a > 0\) の場合：最小値が存在し、最大値はなし。
• \(a < 0\) の場合：最大値が存在し、最小値はなし。