4倍角の公式の2通りの証明について
1. 4倍角の公式
4倍角の公式とは、角度を4倍にしたときの三角比の関係を表す公式です。例えば、\(\sin 4\theta\) や \(\cos 4\theta\) などを、\(\sin \theta\) や \(\cos \theta\) を使って表現することができます。
1.1. \(\sin 4\theta\) の公式
\[ \sin 4\theta = 8\sin \theta \cos^3 \theta – 4\sin \theta \cos \theta \]
または、
\[ \sin 4\theta = 4\sin \theta \cos \theta (1 – 2\sin^2 \theta) \]
1.2. \(\cos 4\theta\) の公式
\[ \cos 4\theta = 8\cos^4 \theta – 8\cos^2 \theta + 1 \]
または、
\[ \cos 4\theta = 1 – 8\sin^2 \theta \cos^2 \theta \]
これらの公式は、倍角の公式を繰り返し適用することで導くことができます。
2. 加法定理を利用した証明
2.1. \(\sin 4\theta\) の証明
まず、加法定理を用いて、\(\sin (2\theta + 2\theta)\) を展開します。
\[ \sin 4\theta = \sin 2\theta \cos 2\theta + \cos 2\theta \sin 2\theta \]
同じ項が2つあるので、まとめて、
\[ \sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta \]
次に、\(\sin 2\theta\) と \(\cos 2\theta\) をさらに2倍角の公式を使って表します。
\[ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \]
\[ \cos 2\theta = 1 – 2\sin^2 \theta \]
これを代入すると、
\[ \begin{align*}\sin 4\theta &= 2(2\sin \theta \cos \theta)(1 – 2\sin^2 \theta) \\ &=4\sin \theta \cos \theta (1 – 2\sin^2 \theta) \end{align*}\]
2.2. \(\cos 4\theta\) の証明
同様に、加法定理を用いて、\(\cos (2\theta + 2\theta)\) を展開します。
\[ \begin{align*}\cos 4\theta &= \cos 2\theta \cos 2\theta – \sin 2\theta \sin 2\theta \\ &=\cos^2 2\theta – \sin^2 2\theta \end{align*} \]
次に、\(\cos 2\theta\) と \(\sin 2\theta\) を2倍角の公式を使って表します。
\[ \cos 2\theta = 1 – 2\sin^2 \theta \]
\[ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \]
これを代入して、
\[ \cos 4\theta = (2\cos^2 \theta-1)^2 – (2\sin \theta \cos \theta)^2 \]
それぞれ展開します。
\[ \cos 4\theta = (1 – 4\cos^2 \theta + 4\cos^4 \theta) – (4\sin^2 \theta \cos^2 \theta) \]
三角関数の関係式$\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$より、
\[ \begin{align*}\cos 4\theta &= 1 – 4\cos^2 \theta + 4\cos^4 \theta – 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta \\ &=1 – 4\cos^2 \theta + 4\cos^4 \theta – 4\cos^2 \theta ( 1-\cos^2\theta) \\ &= 8\cos^4 \theta – 8\cos^2 \theta + 1 \end{align*}\]
最終的に、
\[ \cos 4\theta = 8\cos^4 \theta – 8\cos^2 \theta + 1 \]
3. ド・モアブルの定理を利用した証明
ド・モアブルの定理を利用すると、
\[ \cos 4\theta +i\sin\theta=(\cos \theta + i \sin \theta)^4 \]
$(\cos \theta + i \sin \theta)^4$を二項定理を使って展開すると、
\[ (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} \cos^{4-k} \theta (i \sin \theta)^k \]
それぞれの項を計算していきます。
- \(k = 0\) の場合: \[ \binom{4}{0} \cos^4 \theta = \cos^4 \theta \]
- \(k = 1\) の場合: \[ \binom{4}{1} \cos^3 \theta (i \sin \theta) = 4i \cos^3 \theta \sin \theta \]
- \(k = 2\) の場合: \[ \binom{4}{2} \cos^2 \theta (i \sin \theta)^2 = 6 \cos^2 \theta (-\sin^2 \theta) = -6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \]
- \(k = 3\) の場合: \[ \binom{4}{3} \cos \theta (i \sin \theta)^3 = -4i \cos \theta \sin^3 \theta \]
- \(k = 4\) の場合: \[ \binom{4}{4} (i \sin \theta)^4 = \sin^4 \theta \]
これらをすべてまとめると、
\[ (\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta + i (4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta) \]
この式の実部と虚部を取り出すと、次のようになります。
3.1. 実部と虚部
実部 (つまり \(\cos 4\theta\)) は
\[ \cos 4\theta = \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta \]
これを$\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$を用いて整理すると、
\[ \begin{align*}\cos 4\theta &= \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta \\ &= \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta (1-\cos^2\theta) + (1-\cos^2\theta)^2 \\ &=7 \cos^4 \theta – 6 \cos^2 \theta + (1-2\cos^2\theta+\cos^4\theta) \\ &= 8\cos^4 \theta – 8\cos^2 \theta + 1 \\ \end{align*}\]
虚部 (つまり \(\sin 4\theta\)) は
\[ \sin 4\theta = 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \]
これを$\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$を用いて整理すると、
\[ \begin{align*} \sin 4\theta &= 4 \cos^3 \theta \sin \theta – 4 \cos \theta \sin^3 \theta \\ &=4\sin\theta\cos\theta(cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ &=4\sin\theta\cos\theta(1-2\sin^2\theta)\\ \end{align*}\]
