四元数の意味と性質について
1. 四元数とは何か
四元数は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発見された、複素数を拡張した数の体系です。
2. 四元数の定義
\[ q = a + bi + cj + dk \]
- \( a, b, c, d \)：実数
- \( i, j, k \)：虚数単位で、以下の関係を持つ
これらの虚数単位は、以下の乗法規則を満たします：
- \( i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \)
- \( ij = k,\quad ji = -k \)
- \( jk = i,\quad kj = -i \)
- \( ki = j,\quad ik = -j \)
3. 四元数の加法と減法
成分ごとに計算します。
例：\( q_1 + q_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i + (c_1 + c_2)j + (d_1 + d_2)k \)
4. 四元数の乗法
2つの四元数 \(q_1 = a_1 + b_1i + c_1j + d_1k\) と \(q_2 = a_2 + b_2i + c_2j + d_2k\) の積 \(q = q_1 \cdot q_2\) は、次のように計算します：
\[ q = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)+(a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i+(a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j+(a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k \]
5. 四元数の性質
5.1. 非可換
四元数の乗法は一般に可換ではありません。つまり、\( pq \neq qp \) となる場合があります。
たとえば、\( p = 1 + i \)、\( q = 1 + j \) の場合、 \[ pq = (1 + i)(1 + j) = 1 + j + i + ij = 1 + j + i - k \] \[ qp = (1 + j)(1 + i) = 1 + i + j + ji = 1 + i + j + k \] よって、\( pq \neq qp \) となります。
5.2. ノルム（絶対値）
四元数の大きさを示す値で、\( \|q\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \) で計算されます。
例：四元数 \( q = 1 + 2i + 3j + 4k \) の場合、
\[ \|q\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 9 + 16} = \sqrt{30} \]
5.3. 四元数の共役
\( q = a + bi + cj + dk \) の共役は \( q^* = a - bi - cj - dk \) となります。
例：\( q = 1 + 2i + 3j + 4k \) の場合、 \[ q^* = 1 - 2i - 3j - 4k \]
