5倍角の公式の2通りの証明について
1. 5倍角の公式
5倍角の公式は、三角関数の角の5倍に関する公式です。ここでは、特に \(\sin5\theta\) と \(\cos5\theta\) に関する公式を紹介します。
1.1. \(\sin5\theta\) の公式
1.2. \(\cos5\theta\) の公式
2. 加法定理による証明
2.1. \(\sin 5\theta\)
まず、\(\sin 5\theta\) は \(\sin(2\theta + 3\theta)\) となるので、加法定理より
\[ \sin 5\theta = \sin 2\theta \cos 3\theta + \cos 2\theta \sin 3\theta \]
次に、2倍角の公式を使って、\(\sin 2\theta\) と \(\cos 2\theta\) をそれぞれ表します。
\[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \]
\[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \]
次に、3倍角の公式を使って、\(\sin 3\theta\) と \(\cos 3\theta\) を表します。
\[ \sin 3\theta = 3 \sin \theta – 4 \sin^3 \theta \]
\[ \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta \]
これらの式を 代入します。
\[ \sin 5\theta = (2 \sin \theta \cos \theta)(4 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta) + (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta)(3 \sin \theta – 4 \sin^3 \theta) \]
それぞれの項を展開していきます。
まず、最初の項を展開します。
\[ (2 \sin \theta \cos \theta)(4 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta) = 8 \sin \theta \cos^4 \theta – 6 \sin \theta \cos^2 \theta \]
次に、2つ目の項を展開します。
\[ (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta)(3 \sin \theta – 4 \sin^3 \theta) = 3 \cos^2 \theta \sin \theta – 4 \cos^2 \theta \sin^3 \theta – 3 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta \]
すべての項をまとめると、\(\sin 5\theta\) は次のようになります。
\[ \sin 5\theta = 8 \sin \theta \cos^4 \theta – 6 \sin \theta \cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta \sin \theta – 4 \cos^2 \theta \sin^3 \theta – 3 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta \]
\(\cos 5\theta\) を \(\cos \theta\) だけの項にまとめるために、\(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\) を使います。
\[ \sin 5\theta = 8 \sin \theta (1 – \sin^2 \theta)^2 – 6 \sin \theta (1 – \sin^2 \theta) + 3 (1 – \sin^2 \theta) \sin \theta – 4 (1 – \sin^2 \theta) \sin^3 \theta – 3 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta \]
各項を展開し、同類項をまとめます。
\[ \begin{align*}\sin 5\theta &= 8 \sin \theta (1 – 2 \sin^2 \theta + \sin^4 \theta) – 6 \sin \theta + 6 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta – 3 \sin^3 \theta – 4 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta – 3 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta \\ &= (8 \sin \theta – 16 \sin^3 \theta + 8 \sin^5 \theta) – 6 \sin \theta + 6 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta – 3 \sin^3 \theta – 4 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta – 3 \sin^3 \theta + 4 \sin^5 \theta \\ & = (8 \sin^5 \theta + 4 \sin^5 \theta + 4 \sin^5 \theta) +(-16 \sin^3 \theta + 6 \sin^3 \theta – 3 \sin^3 \theta – 4 \sin^3 \theta – 3 \sin^3 \theta) +(8 \sin \theta – 6 \sin \theta + 3 \sin \theta) \end{align*} \]
最後に、項をまとめると
\[ \sin5\theta = 16\sin^5\theta – 20\sin^3\theta+5\sin\theta \]
2.2. \(\cos 5\theta \)
まず、\(\cos 5\theta\) は次のように書けます。
\[ \cos 5\theta = \cos(2\theta + 3\theta) \]
加法定理より、
\[ \cos 5\theta = \cos 2\theta \cos 3\theta – \sin 2\theta \sin 3\theta \]
となります。
次に、2倍角の公式、3倍角の公式を使ってそれぞれの値を求めます。
\[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \]
\[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \]
\[ \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta \]
\[ \sin 3\theta = 3 \sin \theta – 4 \sin^3 \theta \]
これらの式を代入します。
\[ \cos 5\theta = (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta)(4 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta) – (2 \sin \theta \cos \theta)(3 \sin \theta – 4 \sin^3 \theta) \]
これらをまとめると、\(\cos 5\theta\) は次のようになります。
\[ \cos 5\theta = 4 \cos^5 \theta – 3 \cos^3 \theta – 4 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 3 \cos \theta \sin^2 \theta – 6 \sin^2 \theta \cos \theta + 8 \sin^4 \theta \cos \theta \]
与えられた式を \(\cos \theta\) だけで表すために、三角関数の関係式\(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\) を使って \(\sin^2 \theta\) の項を置き換えていきます。
\[ \cos 5\theta = 4 \cos^5 \theta – 3 \cos^3 \theta – 4 \cos^3 \theta (1 – \cos^2 \theta) + 3 \cos \theta (1 – \cos^2 \theta) – 6 (1 – \cos^2 \theta) \cos \theta + 8 (1 – \cos^2 \theta)^2 \cos \theta \]
これらをすべてまとめると、次のようになります。
\[ \cos 5\theta = 4 \cos^5 \theta – 3 \cos^3 \theta – 4 \cos^3 \theta + 4 \cos^5 \theta + 3 \cos \theta – 3 \cos^3 \theta – 6 \cos \theta + 6 \cos^3 \theta + 8 \cos \theta – 16 \cos^3 \theta + 8 \cos^5 \theta \]
同類項を整理すると、
\[ \cos 5\theta = (4 \cos^5 \theta + 4 \cos^5 \theta + 8 \cos^5 \theta) + (-3 \cos^3 \theta – 4 \cos^3 \theta – 3 \cos^3 \theta + 6 \cos^3 \theta – 16 \cos^3 \theta) + (3 \cos \theta – 6 \cos \theta + 8 \cos \theta) \]
最終的な式は次のようになります。
\[ \cos 5\theta = 16 \cos^5 \theta – 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta \]
3. ド・モアブルの定理を利用
3.1. ド・モアブルの定理と二項定理
ド・モアブルの定理と二項定理を使って、5倍角の公式を導出する方法を説明します。
まず、ド・モアブルの定理より、
\[ \left( \cos\theta + i\sin\theta \right)^5 = \cos5\theta + i\sin5\theta \]
二項定理を用いて、左辺を展開します。
\[ \left( \cos\theta + i\sin\theta \right)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cos^{5-k}\theta \cdot (i\sin\theta)^k \]
この式を展開すると次のようになります。
\[ = \cos^5\theta + 5i\cos^4\theta\sin\theta – 10\cos^3\theta\sin^2\theta – 10i\cos^2\theta\sin^3\theta + 5\cos\theta\sin^4\theta + i\sin^5\theta \]
3.2. 実部と虚部に分ける
次に、実部（\(\cos5\theta\)）と虚部（\(\sin5\theta\)）に分けます。
実部（\(\cos5\theta\)）は
\[ \cos5\theta = \cos^5\theta – 10\cos^3\theta\sin^2\theta + 5\cos\theta\sin^4\theta \]
\(\cos 5\theta\) を \(\cos \theta\) だけの項にまとめるために、\(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\) を使います。
\[ \cos 5\theta = \cos^5 \theta – 10 \cos^3 \theta (1 – \cos^2 \theta) + 5 \cos \theta (1 – \cos^2 \theta)^2 \]
これらをすべてまとめると、
\[ \cos 5\theta = \cos^5 \theta – 10 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta + 10 \cos^5 \theta – 10 \cos^3 \theta + 5 \cos^5 \theta \]
同類項を整理すると、
\[ \cos 5\theta = 16 \cos^5 \theta – 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta \]
したがって、\(\cos 5\theta\) は次のようにまとめられます。
\[ \cos 5\theta = 16 \cos^5 \theta – 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta \]
一方で、虚部（\(\sin5\theta\)）は
\[ \sin5\theta = 5\cos^4\theta\sin\theta – 10\cos^2\theta\sin^3\theta + \sin^5\theta \]
与えられた式を \(\sin\theta\) だけで表すために、\(\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta\) を使って変形します。
\[ \sin5\theta = 5(1 – \sin^2\theta)^2\sin\theta – 10(1 – \sin^2\theta)\sin^3\theta + \sin^5\theta \]
式を展開すると、
\[ \sin5\theta = (5\sin\theta – 10\sin^3\theta + 5\sin^5\theta) + (-10\sin^3\theta + 10\sin^5\theta) + \sin^5\theta \]
さらに整理すると、
\[ \sin5\theta = 16\sin^5\theta – 20\sin^3\theta+5\sin\theta \]
