階数(rank)の定義・性質・階数の計算方法・例題について
1. 階数とは？
行列$A$に対して、$A$の階数を$ \text{rank} A$と書く。
2. 階数の求め方
緑色の階段状になっている数が階数と一致します。
そのため、階数を求めるためには行列を行基本変形を用いて上三角形または行階段形に変形し、非ゼロの行の数を数えることでランクを求めます。
3. 階数を求める例題
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
3.1. 行列Aの階数
最初の行をそのままにします。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
2行目を1行目の3倍引きます。これで行列は次のようになります。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
結果として、ゼロでない行は1行だけです。
行列 \( A \) の階数$\text{rank}A=1$ です。
3.2. 行列Bの階数
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
2行目から1行目の4倍を引きます。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
3行目から1行目の7倍を引きます。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \]
3行目から2行目の2倍を引きます。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
結果として、ゼロでない行が2行あります。
行列 \( B \) の階数$\text{rank}B=2$ です。
4. 階数の性質
4.1. 像と階数の関係
$$\text{rank}(A) = \dim(\text{Im}(A))$$
行列 \(A\) の像 \(\text{Im}(A)\) は、\(A\) の列ベクトルによって張られる空間（線形写像の集合）、すなわち列空間です。
行列 \(A\) のランクは、線型独立な列ベクトル（または行ベクトル）の最大数です。
列空間 \(\text{Im}(A)\) の次元は、その空間を張る最小の基底の要素数です。
\(A\) の列ベクトルのうち、線型独立なものが基底を形成します。
したがって、\(\text{Im}(A)\) の次元は、\(A\) の線型独立な列ベクトルの数、すなわち \(\text{rank}(A)\) に等しいです。
よって、\(\text{rank}(A) = \dim(\text{Im}(A))\) が成り立ちます。
4.2. 行列の積ABと階数の不等式
$$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A)$$
$$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$$
\(\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A)\)を証明します。
任意の列ベクトル \(\mathbf{x}\) に対して、\(AB\) の作用は \(AB\mathbf{x} = A(B\mathbf{x})\) と表せます。
したがって、\(AB\) の像（列空間）は \(A\) の像の部分集合になります。つまり、\(\text{Im}(AB) \subseteq \text{Im}(A)\) です。
よって、
$$\text{rank}(AB) = \dim(\text{Im}(AB)) \leq \dim(\text{Im}(A)) = \text{rank}(A)$$
が成り立ちます。
\(\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)\)を証明します。
行列のランクは転置によって変わらないため、
$$\text{rank}(AB) = \text{rank}((AB)^\top) = \text{rank}(B^\top A^\top)$$
となります。
同様の理由で、\((B^\top A^\top)\) の像は \(B^\top\) の像の部分集合であり、\(\text{Im}(B^\top A^\top) \subseteq \text{Im}(B^\top)\) です。
したがって、
$$\text{rank}(AB) = \text{rank}(B^\top A^\top) = \dim(\text{Im}(B^\top A^\top)) \leq \text{rank}(B^\top) = \text{rank}(B)$$
が成り立ちます。
以上により、\(\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A)\) および \(\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)\) が証明されました。
