無理数の有理化の方法と5つの例題について
1. 無理数の有理化
無理数の有理化は、主に分母の無理数を、有理数のみを含む形に変換することを指します。特に分母に平方根や立方根などの無理数が含まれている場合に用いられます。
2. 分母に平方根しかない場合の有理化
最も一般的な有理化の例として、分母に平方根が含まれる分数を有理化する方法があります。次の例を使って説明します。
2.1. 例1：分母が$\sqrt{2}$
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \] このままでは分母に無理数が含まれていますので、有理化を行います。有理化するために、分母の無理数部分に対応する数を分子・分母に掛けます。この場合、分母の無理数は \(\sqrt{2}\) なので、分子・分母に \(\sqrt{2}\) を掛けます。
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
結果として、分母が有理数になりました。
3. 分母に無理数と有理数を含む式がある場合
3.1. 例2:無理数と有理数を含む式
\[ \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \]
この場合、分母にある無理数部分の符号を逆にして計算します。つまり、\(1 + \sqrt{3}\) より、\(1 – \sqrt{3}\) を分子・分母に掛けます。
\[ \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 – \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} = \frac{1 – \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3})(1 – \sqrt{3})} \]
次に分母を展開します。分母は平方差からを使って展開できます。
\[ (1 + \sqrt{3})(1 – \sqrt{3}) = 1^2 – (\sqrt{3})^2 = 1 – 3 = -2 \]
これにより、次のように簡単化されます。
\[ \frac{1 – \sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3} – 1}{2} \]
4. 有理化の例題
4.1. 問題 1:
分母の無理数 \(\sqrt{5}\) を有理化するために、分母と分子に \(\sqrt{5}\) を掛けます。
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
したがって、有理化された式は
\[ \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
4.2. 問題 2:
分母の無理数 \(\sqrt{2}\) を有理化するために、分母と分子に \(\sqrt{2}\) を掛けます。
\[ \frac{7}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]
したがって、有理化された式は
\[ \frac{7\sqrt{2}}{2} \]
4.3. 問題 3:
分母に無理数 \(\sqrt{3}\) が含まれているため、分子分母に \(2 – \sqrt{3}\) を掛けます。
\[ \frac{4}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 – \sqrt{3}}{2 – \sqrt{3}} = \frac{4(2 – \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3})} \]
分母は次のように展開されます。
\[ (2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3}) = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1 \]
したがって、有理化された式は
\[ 4(2 – \sqrt{3}) = 8 – 4\sqrt{3} \]
4.4. 問題 4:
分母に無理数 \(\sqrt{6}\) が含まれているため、分子分母に \(1 + \sqrt{6}\) を掛けます。
\[ \frac{5}{1 – \sqrt{6}} \times \frac{1 + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} = \frac{5(1 + \sqrt{6})}{(1 – \sqrt{6})(1 + \sqrt{6})} \]
分母は次のように展開されます。
\[ (1 – \sqrt{6})(1 + \sqrt{6}) = 1^2 – (\sqrt{6})^2 = 1 – 6 = -5 \]
したがって、有理化された式は
\[ \frac{5(1 + \sqrt{6})}{-5} = -(1 + \sqrt{6}) = -1 – \sqrt{6} \]
4.5. 問題 5:
分母 \(a – b\sqrt{2}\) より、 \(a + b\sqrt{2}\) を分母と分子に掛けます。
\[ \frac{(c – d\sqrt{2})(a + b\sqrt{2})}{(a – b\sqrt{2})(a + b\sqrt{2})} \]
\((a – b\sqrt{2})(a + b\sqrt{2})\) は、 \((x – y)(x + y) = x^2 – y^2\) を使って計算します。
\[ (a – b\sqrt{2})(a + b\sqrt{2}) = a^2 – (b\sqrt{2})^2 = a^2 – 2b^2 \]
分子 \((c – d\sqrt{2})(a + b\sqrt{2})\) を展開します。
\[ (c – d\sqrt{2})(a + b\sqrt{2}) = ca + cb\sqrt{2} – da\sqrt{2} – 2db \]
\(\sqrt{2}\) を含む項と含まない項に分けます。
\[ = (ca – 2db) + (cb – da)\sqrt{2} \]
よって、式は次のように有理化されます。
\[ \frac{(ca – 2db) + (cb – da)\sqrt{2}}{a^2 – 2b^2} \]
