レイリー分布の意味と性質について

1. レイリー分布とは？

レイリー分布は、確率論と統計学で用いられる分布の一つで、特に工学分野や信号処理などでよく登場します。振動や散乱による信号強度のモデル化にも使われます。

例えば、無線通信での受信信号強度の変動や、風速の分布を表す際にレイリー分布が適用されることがあります。

また、故障率と関係のあるワイブル分布とも関連があります。

1.1. レイリー分布の確率密度関数

ふゅか

ふむふむ。どんな形をしてるの？

はるか

山型。最初は上がって、ある地点を境に減少する。

2. レイリー分布の性質

2.1. 期待値

ふゅか

おぉ、意外と簡単な形！でも、どうやって導き出すんだろう？

はるか

部分積分を使う。

期待値を計算すると

\[ \begin{align*}\mathbb{E}[X] &= \int_0^\infty x \cdot \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &= \int_0^\infty \frac{x^2}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{align*} \]

ここで、部分積分を適用すると

\[ \begin{align*}\frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx &= \frac{1}{\sigma^2}\left[ x \cdot -\sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty + \frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty \sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=0+ \int_0^\infty  e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{align*} \]

ガウス積分の性質より、

$$\int_0^\infty  e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx = \frac{1}{2}\sqrt{2\sigma^2 \pi}$$

したがって、

\[ \text{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

2.2. 分散

\( \mathbb{E}[X^2] \) は次の式で計算されます：

\[ \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{\sigma^2} \int_0^\infty r^3 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dx \]

部分積分を適用すると、

\[ \begin{align*}\frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty x^3 e^{-\frac{x^2}{\sigma^2}} \, dx &= \frac{1}{\sigma^2}\left[ x^2 \cdot \sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty +\frac{2}{\sigma^2}\int_0^\infty \sigma^2 x e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=0+2 \int_0^\infty  xe^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=2 \int_0^\infty  xe^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=2 \left[  -\sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty \\ &=-2\sigma^2 \left[  e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty \\ &=2\sigma^2 \end{align*} \]

したがって、分散は

\[ \begin{align*}\text{Var}[X] &= E[X^2]-(E[X])^2 \\ &=2\sigma^2- \sigma^2 \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{(4 - \pi)}{2} \sigma^2 \end{align*} \]