レイリー分布の意味と性質について



1. レイリー分布とは?
レイリー分布は、確率論と統計学で用いられる分布の一つで、特に工学分野や信号処理などでよく登場します。振動や散乱による信号強度のモデル化にも使われます。
例えば、無線通信での受信信号強度の変動や、風速の分布を表す際にレイリー分布が適用されることがあります。
また、故障率と関係のあるワイブル分布とも関連があります。
1.1. レイリー分布の確率密度関数
レイリー分布の確率密度関数は次のように表されます。
\[ f(x; \sigma) = \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]


2. レイリー分布の性質
2.1. 期待値
\[ \text{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]


期待値を計算すると
\[ \begin{align*}\mathbb{E}[X] &= \int_0^\infty x \cdot \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &= \int_0^\infty \frac{x^2}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{align*} \]
ここで、部分積分を適用すると
\[ \begin{align*}\frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx &= \frac{1}{\sigma^2}\left[ x \cdot -\sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty + \frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty \sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=0+ \int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{align*} \]
ガウス積分の性質より、
$$\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx = \frac{1}{2}\sqrt{2\sigma^2 \pi}$$
したがって、
\[ \text{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]
2.2. 分散
\( \mathbb{E}[X^2] \) は次の式で計算されます:
\[ \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{\sigma^2} \int_0^\infty r^3 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dx \]
部分積分を適用すると、
\[ \begin{align*}\frac{1}{\sigma^2}\int_0^\infty x^3 e^{-\frac{x^2}{\sigma^2}} \, dx &= \frac{1}{\sigma^2}\left[ x^2 \cdot \sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty +\frac{2}{\sigma^2}\int_0^\infty \sigma^2 x e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=0+2 \int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=2 \int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx \\ &=2 \left[ -\sigma^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty \\ &=-2\sigma^2 \left[ e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \right]_0^\infty \\ &=2\sigma^2 \end{align*} \]
したがって、分散は
\[ \begin{align*}\text{Var}[X] &= E[X^2]-(E[X])^2 \\ &=2\sigma^2- \sigma^2 \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{(4 - \pi)}{2} \sigma^2 \end{align*} \]