逆関数の微分について！逆三角関数の例題付き

はるか

逆関数の微分について話そう。

ふゅか

うん、面白そうね！逆関数の微分って具体的にはどういうこと？

はるか

基本的に$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$。これが基本。

ふゅか

ああ、分数のように扱えるから便利なのね！

逆関数の微分

逆関数の微分といえば、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$と習う方が多いと思います。また、分数のように扱えるからという説明も受けた方がいるかもしれせん。そして、実用例では、実際に$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$が成り立つことを調べたいと思います。

証明

証明には導関数の定義式を使います。

$f\left( x\right) =\lim\limits _{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$

証明の流れ

ふゅか

じゃあ、具体的にどう証明するの？

はるか

まずは、微分可能な関数$x=f(y)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$を考える。

はるか

$f\left( x\right) =\lim\limits _{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$を使う

ふゅか

なるほど！ここで微分の基本的な定義を使うのね。

はるか

そう。導関数の定義式を使って証明する。

逆関数の微分

$f^{-1}\left( x+h\right) -f^{-1}\left( x\right) =m$とおくと、

$f^{-1}\left( x+h\right) =f^{-1}\left( x\right) +m$

$y=f^{-1}\left(x\right)$より、

$f^{-1}\left( x+h\right) =y+m$

$\Leftrightarrow f\left( y+m\right) =x+h$

$h=f\left( y+m\right) -x$

$x=f\left(y\right)$より、

$h=f\left( y+m\right) -f\left( y\right) $

$h\rightarrow 0$のとき$m\rightarrow 0$となるから、

$\left( f^{-1}\left( x\right) \right)'$

$=\lim\limits _{h\rightarrow 0}\dfrac{f^{-1}\left( x+h\right) -f^{-1}\left( x\right) }{h}$

$=\lim\limits _{m\rightarrow 0}\dfrac{f^{-1}\left( x\right) +m-f^{-1}\left( x\right) }{f\left( y+m\right) -f\left( y\right) }$

$=\lim\limits _{m\rightarrow 0}\dfrac{1}{\dfrac{f\left( y+m\right) -f\left( y\right) }{m}}$

$=\dfrac{1}{f'\left( y\right) }$

$y=f^{-1}\left(x\right)$より、

$=\dfrac{1}{f'\left( f^{-1}\left( x\right) \right) }$

実用例

$x=f\left( y\right) $の両辺を$y$で微分すると、

$f'\left( y\right) =\dfrac{dx}{dy}$

$y=f^{-1}\left( x\right)$の両辺を$x$で微分すると、

$\left( f^{-1}\left( x\right) \right)'=\dfrac{dy}{dx}$

これらを、$\left( f^{-1}\left( x\right) \right) ' =\dfrac{1}{f'\left( y\right) }$に代入すると、

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$

となり、高校の教科書に載っている公式となります。

逆関数の微分の例題

解答と解説

(a) \( y = \arcsin(x) \)

まず、\( y = \arcsin(x) \) なので、

\[ x = \sin(y) \]

これを \( y \) で微分します。

\[ \frac{dx}{dy} = \cos(y) \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)} \]

\(\cos(y)\) を \(x\) の関数として表すと、

\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

(b) \( y = \arccos(x) \)

まず、\( y = \arccos(x) \) なので、

\[ x = \cos(y) \]

これを \( y \) で微分します。

\[ \frac{dx}{dy} = -\sin(y) \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{- \sin(y)} = -\frac{1}{\sin(y)} \]

\(\sin(y)\) を \(x\) の関数として表すと、

\[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

(c) \( y = \arctan(x) \)

まず、\( y = \arctan(x) \) なので、

\[ x = \tan(y) \]

これを \( y \) で微分します。

\[ \frac{dx}{dy} = \sec^2(y) \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)} \]

\(\sec^2(y)\) を \(x\) の関数として表すと、

\[ \sec^2(y) = 1 + \tan^2(y) = 1 + x^2 \]

したがって、

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} \]