上昇階乗冪の定義、性質と関係式について
1. 上昇階乗冪
1.1. 上昇階乗冪の定義
\[ x^{\overline{n}} = x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot \dotsb \cdot (x+n-1) = \prod_{i=1}^n (x+i-1) \]
これは、\( x \) から始まって \( n \) 個の連続した数を掛け合わせたものです。例えば、
- \( x^{\overline{1}} = x \)
- \( x^{\overline{2}} = x \cdot (x+1) \)
- \( x^{\overline{3}} = x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \)
$x^{\overline{n}} $のイメージはxに対して$n-1$個だけプラスにずらした積を計算するという感じです。
1.2. 上昇階乗冪の記法
$x^{\overline{n}}$は次のように表記されることがある。
- $x^{(n)}$
- $(x)_n$
上昇階乗冪（じょうしょうかいじょうべき）は次のように呼ばれることがある。
- 昇冪
- 上方階乗冪
2. 上昇階乗冪の性質
2.1. ガンマ関数と上昇階乗冪の関係
\[ x^{\overline{n}} = \frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} \]
\( x^{\overline{n}} \) は次のように計算されます。
\[\begin{align*} x^{\overline{n}} &= x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot \dotsb \cdot (x+n-1) \\ &= \frac{(x-(n-1))!}{(x-1)!}\\ &= \frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} \end{align*}\]
ここで、ガンマ関数と階乗の性質\(\Gamma(n+1) = n!\)を利用した。
2.2. n=0のとき
$x^{\overline{n}}=\dfrac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)}$より、
$$x^{\overline{0}}=\dfrac{\Gamma(x )}{\Gamma(x)}=1$$
2.3. 二項係数と上昇階乗冪の関係
\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{x^{\overline{n}}}{n!} \]
二項係数 \( \binom{x}{n} \) は、
\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots x}{n!} \]
であるので、
\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{x^{\overline{n}}}{n!} \]
2.4. 上昇階乗冪の差分
\[ f(n+1)-f(n)= n \cdot x^{\overline{n-1}} \]
が成り立つ。
$f(n+1)-f(n)$は次のような形になります。
\[ f(n+1)-f(n) = (x+1)^{\overline{n}} - x^{\overline{n}} \]
まず、\( (x+1)^{\overline{n}} \) は次のように定義されます。
\[ (x+1)^{\overline{n}} = (x+1)(x+2)(x+3)\dots(x+n) \]
これは \( x^{\overline{n}} \) に比べて、各項が 1 だけずれているだけです。上記の \( (x+1)^{\overline{n}} \) から \( x^{\overline{n}} \) を引きます。
\[ f(n+1)-f(n)= (x+1)(x+2)\dots(x+n) - x(x+1)\dots(x+n-1) \]
共通因子 \( (x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \)でくくり出すと、
\[ \begin{align*}f(n+1)-f(n)&= \left( (x+n) - x \right)(x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \\ &= n \cdot (x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \end{align*} \]
つまり、
\[ f(n+1)-f(n)= n \cdot x^{\overline{n-1}} \]
