更新:2024/09/24

上昇階乗冪の定義、性質と関係式について

ふゅか
ふゅか
上昇階乗冪の定義について説明してくれる?なんだか、少しややこしそう…
はるか
はるか
簡単に言うと、上昇階乗冪は、\( x \) から始めて、連続する数を掛け合わせていくもの。例えば、\( x^{\overline{2}} \) なら、\( x \) と \( (x+1) \) を掛け合わせるだけ。
ふゅか
ふゅか
なるほど!それが「上昇」って意味なのね。

1. 上昇階乗冪

1.1. 上昇階乗冪の定義

上昇階乗冪 \( x^{\overline{n}} \) は、次のように定義されます。

\[ x^{\overline{n}} = x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot \dotsb \cdot (x+n-1) = \prod_{i=1}^n (x+i-1) \]

これは、\( x \) から始まって \( n \) 個の連続した数を掛け合わせたものです。例えば、

  • \( x^{\overline{1}} = x \)
  • \( x^{\overline{2}} = x \cdot (x+1) \)
  • \( x^{\overline{3}} = x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \)

$x^{\overline{n}} $のイメージはxに対して$n-1$個だけプラスにずらした積を計算するという感じです。

はるか
はるか
英語だと、rising factorial。響きがいい。

1.2. 上昇階乗冪の記法

$x^{\overline{n}}$は次のように表記されることがある。

  • $x^{(n)}$
  • $(x)_n$

上昇階乗冪(じょうしょうかいじょうべき)は次のように呼ばれることがある。

  • 昇冪
  • 上方階乗冪

2. 上昇階乗冪の性質

ふゅか
ふゅか
上昇階乗冪とガンマ関数って関係があるの?
はるか
はるか
上昇階乗冪はガンマ関数を使って表せるんだ。

2.1. ガンマ関数と上昇階乗冪の関係

上昇階乗冪はガンマ関数 \( \Gamma(z) \) を使って次のように表せます。

\[ x^{\overline{n}} = \frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} \]

\( x^{\overline{n}} \) は次のように計算されます。

\[\begin{align*} x^{\overline{n}} &= x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot \dotsb \cdot (x+n-1) \\ &= \frac{(x-(n-1))!}{(x-1)!}\\ &= \frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} \end{align*}\]

ここで、ガンマ関数と階乗の性質\(\Gamma(n+1) = n!\)を利用した。

2.2. n=0のとき

$$x^{\overline{0}} =1$$

$x^{\overline{n}}=\dfrac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)}$より、

$$x^{\overline{0}}=\dfrac{\Gamma(x )}{\Gamma(x)}=1$$

2.3. 二項係数と上昇階乗冪の関係

二項係数 \( \binom{x}{n} \) は、上昇階乗冪を使って次のように表すことができます。

\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{x^{\overline{n}}}{n!} \]

二項係数 \( \binom{x}{n} \) は、

\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots x}{n!} \]

であるので、

\[ \binom{n+x-1}{n} = \frac{x^{\overline{n}}}{n!} \]

2.4. 上昇階乗冪の差分

$f(n)=x^{\overline{n}}$と置いたとき、

\[ f(n+1)-f(n)= n \cdot x^{\overline{n-1}} \]

が成り立つ。

$f(n+1)-f(n)$は次のような形になります。

\[ f(n+1)-f(n) = (x+1)^{\overline{n}} - x^{\overline{n}} \]

まず、\( (x+1)^{\overline{n}} \) は次のように定義されます。

\[ (x+1)^{\overline{n}} = (x+1)(x+2)(x+3)\dots(x+n) \]

これは \( x^{\overline{n}} \) に比べて、各項が 1 だけずれているだけです。上記の \( (x+1)^{\overline{n}} \) から \( x^{\overline{n}} \) を引きます。

\[ f(n+1)-f(n)= (x+1)(x+2)\dots(x+n) - x(x+1)\dots(x+n-1) \]

共通因子 \( (x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \)でくくり出すと、

\[ \begin{align*}f(n+1)-f(n)&= \left( (x+n) - x \right)(x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \\ &= n \cdot (x+1)(x+2)\dots(x+n-1) \end{align*} \]

つまり、

\[ f(n+1)-f(n)= n \cdot x^{\overline{n-1}} \]

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