Schurの不等式の証明について

1. Schurの不等式とは

ここで、$r$ は実数です。この不等式は特に $r = 1$ の場合、以下の形になります。

$$x(x – y)(x – z) + y(y – z)(y – x) + z(z – x)(z – y) \geq 0$$

$$x^3 + y^3 + z^3 – (x^2y + y^2x + y^2z + z^2y + z^2x + x^2z) + 3xyz \geq 0$$

$$x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geq x^2y + y^2z + z^2x + x^2z + y^2x + z^2y$$

$r=2$の場合は、次のようになります。

$$x^2(x – y)(x – z) + y^2(y – z)(y – x) + z^2(z – x)(z – y) \geq 0$$

2. 証明

対称性より、一般性を失わないため、$x \geq y \geq z \geq 0$ と仮定します。

$$T_1 = x^r(x – y)(x – z)$$

$$T_2 = y^r(y – z)(y – x)$$

$$T_3 = z^r(z – x)(z – y)$$

$T_1$について考える。

$$T_1 = x^r(x – y)(x – z)$$

$x \geq y \geq z \geq 0$ なので、$x – y \geq 0$ かつ $x – z \geq 0$ です。

$x^r \geq 0$ であり、$x \geq 0$ かつ $r > 0$ です。

したがって、$T_1\geq 0$です。

次に、$T_2$について考える。

$$T_2 = y^r(y – z)(y – x)$$

$x \geq y \geq z \geq 0$ なので、$y – z \geq 0$ かつ $y – x \leq 0$ 、$y^r \geq 0$です。

したがって、$T_2 \leq 0$となる。

最後に、$T_3$について考える。

$$T_3 = z^r(z – x)(z – y)$$

$x \geq y \geq z \geq 0$ なので、$z – x \leq 0$ かつ $z – y \leq 0$、$z^r \geq 0$となる。

したがって、$T_3 \geq 0$となる。

よって、$T_2$が負であるため、$T_2$とほかの項の和が0以上であることを示せればいい。

$r > 0$の場合

合計 $T_1 + T_2$ を考えます。

$$\begin{align*} T_1 + T_2 &= x^r(x – y)(x – z) + y^r(y – z)(y – x) \\ &= (x – y)\{ x^r(x – z) – y^r(y – z) \} \end{align*}$$

$x – y \geq 0$ なので、中括弧内の式が非負であることを示す必要があります。

$x – z \geq y – z \geq 0$より、

$$x^r(x – z) – y^r(y – z) \geq x^r(y – z) – y^r(y – z) = (x^r – y^r)(y – z) \geq 0$$

$x^r \geq y^r$、これは $x \geq y$ かつ $r > 0$ だからです。

$T_1 + T_2 \geq 0$、$T_3 \geq 0$より、

$$T_1 + T_2 + T_3 \geq 0$$

$r \leq 0$の場合

合計 $T_2+T_3$ を考えます。

$$\begin{align*}  T_2+T_3 &=  y^r(y – z)(y – x)+ z^r(z – x)(z – y) \\ &= (y-z)\{ y^r(y-x) – z^r(z-x) \} \end{align*}$$

$y-z \geq 0$ なので、中括弧内の式が非負であることを示す必要があります。

$y-x \geq z-x$より、

$$y^r(y-x) – z^r(z-x) \geq y^r(z-x ) – z^r(z-x ) = (y^r – z^r)(z-x ) \geq 0$$

ここで、$z-x\leq 0$です。また、$y^r – z^r$は$r<0$より、$y^r – z^r\leq 0$です。

$T_2 + T_3 \geq 0$、$T_1 \geq 0$より、

$$T_1 + T_2 + T_3 \geq 0$$