積の微分と商の微分の証明と例題について

1. 積の微分

1.1. 積の微分の証明

導関数の定義より、

$$(f(x)g(x))’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {g(x+h)-g(x)}{h}f(x)$$

$$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

1.2. 積の微分の例題

(1)

$$(x\sin x)’$$

$$=(x)’ \sin x+x(\sin x)’$$

$$=\sin x +x\cos x$$

(2)

$$(\sin x\tan x)’$$

$$=(\sin x)’ \tan x+\sin x(\tan x)’$$

$$=\cos x\tan x +\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

$$=\sin x +\displaystyle\frac{\tan x}{\cos x}$$

(3)

$$(x^2\cos x)’$$

$$=(x^2)’ \cos x+x^2(\cos x)’$$

$$=2x\cos x -x^2\sin x$$

2. 商の微分公式

分子は$f(x)$を微分したもとのと$g(x)$の積に対して$f(x)$に$g(x)$の微分の積を引いている。分母は$g(x)^2$となっている。

2.1. 商の微分公式の証明

導関数の定義より、

$$\displaystyle\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)-(g(x+h)-g(x))f(x)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\displaystyle\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\displaystyle\frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}$$

$$=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)}{g(x)^2}-\displaystyle\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

$$=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

2.2. 積の微分法則を利用した証明

まず、分子と分母の積の形を利用して、次のように変形します。

$$\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$$

この形において、$f(x)$ と $\frac{1}{g(x)}$ の積の微分を求めます。積の微分法則を適用すると、次のように表せます。

$$\left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right)’ = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(\frac{1}{g(x)}\right)’$$

ここで、$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’$ の部分をさらに微分します。

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’ = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2}$$

これを元の式に代入すると、次のようになります。

$$f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}\right)$$

さらにこれを整理すると、

$$\frac{f'(x)}{g(x)} – \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

共通の分母 $g(x)^2$ に合わせて一つの分数にまとめると、

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ =\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

2.3. 商の微分公式の例題

(1)sinc関数を微分すると次のようになります。

$$\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)’$$

$$=\displaystyle\frac{x(\sin x)’-(x)’\sin x }{x^2}$$

$$=\displaystyle\frac{x\cos x-\sin x }{x^2}$$

(2)

$$\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\right)’$$

$$=\displaystyle\frac{\cos x(1)’-(\cos x)’ \cdot 1 }{\cos^2 x}$$

$$=\displaystyle\frac{\sin x }{\cos^2 x}$$

2.4. タンジェントの微分

まず、$\tan x$ は、次のように表せます。

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

この式を利用して、商の微分法を適用します。

$$(\tan x)’ = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)’ = \frac{(\sin x)’ \cos x – \sin x (\cos x)’}{\cos^2 x}$$

ここで、$\sin x$ の微分は $\cos x$、$\cos x$ の微分は $-\sin x$ ですから、

$$(\tan x)’ = \frac{\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x}{\cos^2 x}$$

$$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

三角関数の関係式である $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用いると、

$$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

これを別の形で表すと、$\tan x$ の微分は $\sec^2 x$ に等しいことが分かります。

$$(\tan x)’ = \sec^2 x$$

次に、$\frac{1}{\tan x}$ の微分を考えます。まず、$\frac{1}{\tan x}$ を $\cot x$ として表し直しましょう。

$$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

この式を利用して、同様に商の微分法則を適用します。

$$\left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)’ = \frac{(\cos x)’ \sin x – \cos x (\sin x)’}{\sin^2 x}$$

ここで、$\cos x$ の微分は $-\sin x$、$\sin x$ の微分は $\cos x$ なので、

$$\left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = \frac{-\sin x \cdot \sin x – \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

$$= \frac{-\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin^2 x}$$

三角関数の関係式を用いると、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ですので、

$$\left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

したがって、$\cot x$ の微分は $-\csc^2 x$ に等しいことが分かります。

$$(\cot x)’ = -\csc^2 x$$

これで、$\tan x$ の微分と $\cot x$ の微分がそれぞれ $\sec^2 x$ と $-\csc^2 x$ であることが確認できました。