更新:2024/12/22
半群の意味と性質、具体例について
はるか
半群、知ってる？
ふゅか
「結合律を満たす演算が定義された集合」って感じだったよね！
目次
1. 半群とは
半群（はんぐん、Semigroup）は、代数学で扱われる基本的な概念の一つです。半群は次の条件を満たす集合 \( S \) と演算 \( * \) の組み合わせ$(S,*)$を指します。
半群は演算 \( * \) が結合律を満たす。つまり、任意の \( a, b, c \in S \) に対して次が成り立つ。
\[ (a * b) * c = a * (b * c) \]
これだけです。非常にシンプルです。
1.1. 群の定義
一方で、群（Group）は、次の3つの条件を満たす集合 \( G \) と演算 \( * \) の組み合わせを指します。
任意の \( a, b \in G \) に対して
- 結合律\[ (a * b) * c = a * (b * c) \]
- 単位元の存在\[ a * e = e * a = a \]
- 逆元の存在\[ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \]
2. 半群の具体例
2.1. \((\mathbb{N}, +)\)：自然数全体と加法
- 集合: 自然数の集合 \(\mathbb{N}\)。
- 演算: 加法 \(+\)。
- 結合則: \[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
2.2. \(M_n(\mathbb{R})\)（実 \(n \times n\) 行列）と行列積
- 集合: 実 \(n \times n\) 行列全体を \(M_n(\mathbb{R})\) とする。
- 演算: 行列積。
- 結合則: \[ (AB)C = A(BC) \]
2.3. 半群 \((\{0,1\}, \land)\)（ブール代数の一部）
- 集合: \(\{0,1\}\)。
- 演算: 論理積 \(\land\)（AND）。
- 結合則: \[ (x \land y) \land z = x \land (y \land z) \]
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