【巡回不等式】シャピロの不等式について
1. シャピロの不等式
\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} \geq \frac{n}{2} \]
ただし、nが12以下の偶数、23以下の奇数のどちからである必要がある。
ここで、添字は循環的に扱われ、例えば \( a_{n+1} = a_1 \)、 \( a_{n+2} = a_2 \) となります。シャピロの不等式は、シャピロの巡回不等式や巡回不等式と呼ばれます。
2. 特別なケース
2.1. nessbitの不等式（n=3）
\( n = 3 \) の場合、この不等式は等号が成り立ちます。つまり、次のようになります。
\[ \frac{a_1}{a_2 + a_3} + \frac{a_2}{a_3 + a_1} + \frac{a_3}{a_1 + a_2} \geq \frac{3}{2} \]
この不等式はnesbittの不等式とも呼ばれます。
2.2. n=4の場合
\[ \frac{a_1}{a_2 + a_3} + \frac{a_2}{a_3 + a_4} + \frac{a_3}{a_4 + a_1} + \frac{a_4}{a_1 + a_2} \geq 2 \]
この不等式を Titu’s Lemma を用いて証明します。正の実数 \( a_i \) と \( b_i \) に対して、次の不等式が成り立ちます。
\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} b_i} \]
まず、左辺の各項を \( \frac{a_i^2}{a_i(a_{i+1} + a_{i+2})} \) と書き換えます。
\[ \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} = \frac{a_i^2}{a_i(a_{i+1} + a_{i+2})} \]
これにより、Tituの補題を適用すると
\[ \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i^2}{a_i(a_{i+1} + a_{i+2})} = \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{4} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{4} a_i(a_{i+1} + a_{i+2})} \]
$A = \sum_{i=1}^{4} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$として、分子を計算すると
\[ A^2 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)^2 \]
展開すると
\[ A^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + 2(a_1a_2 + a_1a_3 + a_1a_4 + a_2a_3 + a_2a_4 + a_3a_4) \]
$S = \sum_{i=1}^{4} a_i(a_{i+1} + a_{i+2}) $と置いて、分母を計算すると
\[ \begin{align*} S &= a_1(a_2 + a_3) + a_2(a_3 + a_4) + a_3(a_4 + a_1) + a_4(a_1 + a_2) \\ &= (a_1a_2 + a_1a_3) + (a_2a_3 + a_2a_4) + (a_3a_4 + a_3a_1) + (a_4a_1 + a_4a_2) \\ &= a_1a_2+2a_1a_3+2a_2a_4+a_2a_3+a_3a_4+a_1a_4 \end{align*} \]
Tituの補題より
\[ \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} \geq \frac{A^2}{S} \]
したがって、不等式を証明するためには \( \frac{A^2}{S} \geq 2 \) を示せば十分です。まず、\( A^2 \) と \( 2S \) の差を計算します。
\[ \begin{align*} A^2 – 2S & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2-2a_1a_3-2a_2a_4 \\ &= (a_1 – a_3)^2 + (a_2 – a_4)^2 \\ &\geq 0 \end{align*}\]
この結果は常に0以上であるので、
\[ A^2 \geq 2S \]
したがって
\[ \frac{A^2}{S} \geq 2 \]
以上より
\[ \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} \geq 2 \]
したがって、n = 4 の場合のShapiroの不等式は、Tituの補題を用いて証明されました。
