sinを用いた三角形の面積の求め方

1. 三角形の面積

上記のような三角形が与えられたとき三角形の面積は、
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B$
となる。

ここで、$a,b,c$は三角形の辺の長さであり、$A,B,C$はそれぞれ頂点に対応する角度です。

この公式を用いると、与えられた三角形の辺の長さと角度から面積を求めることができます。例えば、以下のような問題が考えられます。

1.1. 例題

三角形$ABC$において、$AC=3,BC=5$とし、角$C$の大きさが$60$度であるとき、三角形$ABC$の面積を求めよ。

$a=3,b=5,\sin C=\dfrac{1}{2}$となるときの面積を求めると、

$S=\dfrac{1}{2} 3\cdot 5\sin C$

$=\dfrac{15}{4}$

2. 証明

角Cが鋭角であった場合、点$A$から$BC$に垂線を引いたとして、その時の交点を$M$とする。三角比を用いて$AM$を表すと、$AM=b\sin C$となる。
したがって、三角形の底辺を $BC$ とし、$AM$ は三角形の高さとすると、三角形の面積を$S$とすると、三角形の面積は底辺×高さ÷２であるから、

$S=BC \cdot AM \cdot \dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{1}{2}ab\sin C$

また、角Cが鈍角であった場合は、直線BCの延長線上で点Aからの垂線と交わる。$\sin(180-\theta)=\sin\theta$であるから、同様に$AM=b\sin C$となり、底辺を$BC$ とし、$AM$ は三角形の高さとなるから$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$となる。

同様にして、頂点$B$ や $C$ から垂線を引いて、ほかの面積の公式も求めることができます。