更新:2025/02/21

【統計検定2級対策】仮説検定でよく出る統計検定量を総整理

統計検定2級では、さまざまな検定統計量が登場し、それぞれが「どの分布に従うか」「どんなときに使われるか」を把握することが大切です。ここでは代表的な検定量を一通り整理します。

1. 押さえておきたいポイント

  • 自由度 (degrees of freedom、df)
    • t分布、F分布、\(\chi^2\)分布などで必ず登場する。
    • 多くの場合、\((n-1)\) のような形で現れる。
  • t分布と正規分布の関係
    • t分布は標本数 \(n\) が大きくなると標準正規分布に近づく。
  • 大標本の場合は中心極限定理により、正規分布(標準正規分布)を用いることが多い。

2. 母平均の検定

2.1. 母分散既知(正規母集団)

  • 帰無仮説: 母平均が \(\mu\) である。
  • 検定統計量: \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \]
  • 分布: 標準正規分布に従う。

2.2. 母分散未知・小標本(t検定)

  • 条件: 母集団が正規分布、標本数 \(n\) が小さい。
  • 帰無仮説: 母平均が \(\mu\) である。
  • 検定統計量: \[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{U / \sqrt{n}} \] ここで \(U^2\) は不偏分散。
  • 分布: 自由度 \((n - 1)\) の t分布に従う。

2.3. 母分散未知・大標本

  • 条件: 標本数 \(n\) が大きい。
  • 帰無仮説: 母平均が \(\mu\) である。
  • 検定統計量: \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{U / \sqrt{n}} \]
  • 分布: 中心極限定理により、近似的に標準正規分布に従う。

3. 対応のある2群の母平均の差の検定

  • 条件: 同じ対象に対して2回測定したデータや、同じ単位でペアになっているデータ。
  • 差の標本平均: \(\bar{d}\)
  • 差の不偏分散: \(U_d^2\)
  • 検定統計量: \[ t = \frac{\bar{d}}{U_d / \sqrt{n}} \]
  • 分布: 自由度 \((n - 1)\) の t分布。

4. 対応のない2群の母平均の差の検定

母分散既知の場合(正規母集団)

  • 母集団が正規分布
  • 母分散がそれぞれ、$\sigma_1^2 \sigma_2^2$
  • 標本のサイズが$n_1$、$n_2$
  • 統計検定量は標準正規分布に従う

\[ Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \]

4.1. 母分散未知・大標本の場合

\[ Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{U_1^2}{n_1} + \frac{U_2^2}{n_2}}} \]

  • \(U_1^2, U_2^2\) はそれぞれの不偏分散。
  • 大標本なので、中心極限定理より、標準正規分布に従う。

4.2. 母分散未知・小標本(等分散)

  • 等分散の仮定がある場合、プールした分散 \(U_p^2\) を使う。

\[ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{U_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \]

  • 自由度: \((n_1 + n_2 - 2)\)のt分布。
  • プールした分散 (\(U_p\)) は \[ U_p^2 = \frac{(n_1 - 1)U_1^2 + (n_2 - 1)U_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \] などで定義される。

5. 母分散の検定(\(\chi^2\)検定)

  • 条件: 母集団が正規分布。
  • 帰無仮説: 母分散が \(\sigma^2\) である。
  • 検定統計量: \[ \chi^2 = \frac{(n-1)U^2}{\sigma^2} \]
  • 分布: 自由度 \((n - 1)\) の \(\chi^2\)分布。

6. 母比率の検定

6.1. 母比率の検定(大標本)

  • 帰無仮説: 母比率が \(p\) である。
  • 標本比率: \(\hat{p} = X/n\)
  • 検定統計量: \[ Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1 - p) / n}} \]
  • 分布: 大標本では標準正規分布に近似。

6.2. 母比率の差の検定(大標本)

  • 帰無仮説: 母比率に差がない。
  • 標本比率: \(\hat{p}_1 = X_1 / n_1\), \(\hat{p}_2 = X_2 / n_2\)
  • 検定統計量: \[ Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\hat{p_1}(1 - \hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1 - \hat{p_2})}{n_2}}} \]
  • 分布: 標準正規分布に近似。

7. 等分散仮説の検定(F検定)

  • 2つの正規母集団からそれぞれ標本を取り、不偏分散 \(U_A^2, U_B^2\) を計算。
  • 標本のサイズはそれぞれ$n_A$,$n_B$。
  • 帰無仮説: 2つの母分散が等しい。
  • 検定統計量: \[ F = \frac{U_A^2}{U_B^2} \]
  • 分布: \( F(\,n_B - 1,\, n_A - 1)\) の分布に従う。

8. 適合度検定(\(\chi^2\)検定)

  • 目的: 観測された度数が、ある理論・分布に「どの程度適合しているか」を検定。
  • 期待度数: \(E_i = n \cdot p_i\) (理論上の値)
  • 観測度数: \(X_i\)
  • 検定統計量: \[ \chi^2 = \sum \frac{(X_i - E_i)^2}{E_i} \]
  • 分布: 自由度「カテゴリ数 - 1」の \(\chi^2\) 分布。
  • 日本語にすると、$$\sum\frac{(観測度数-期待度数)^2}{期待度数}$$

9. 独立性の検定(\(\chi^2\)検定)

  • クロス集計表(例: \(k\)行\(\times l\)列)で、行と列の要因が独立かどうかを検定。
  • 帰無仮説: 行と列の要因は独立。
  • 検定統計量: \[ \chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]
    • \(O_{ij}\): 観測度数、\(E_{ij}\): 期待度数
  • 分布: 自由度 \((k - 1)(l - 1)\) の \(\chi^2\)分布。
  • 表であるので添え字がijのように二つ。

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