更新:2025/02/25

【統計検定2級対策】失点しないための区間推定の総まとめ

1. 頻出の区間推定

統計検定2級で頻出の「区間推定」について、代表的な推定の式・性質を整理して解説します。母集団がどのような分布に従うか、母分散が既知か未知か、標本数が小さいか大きいかなどの条件によって信頼区間の求め方が異なるため、問題を解く際にはそれぞれの前提を正確に把握することが大切です。

前提
- 母集団 \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
- 母分散 \(\sigma^2\) は既知
- 標本サイズ \(n\)
標本平均の分布\[ \bar{X} \sim \mathcal{N}\!\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma^2}{n}\Bigr). \]
標準化
母平均 \(\mu\) を含む区間を求めるために，標本平均 \(\bar{X}\) を変換します： \[ Z \;=\; \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2 / n}} \;=\; \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \;\;\sim\;\; \mathcal{N}(0,1). \] すると， \[ P\!\Bigl(-z_{\alpha/2} \;\le\; Z \;\le\; z_{\alpha/2}\Bigr) \;=\; 1 - \alpha \quad (\text{ここで } z_{\alpha/2}\text{は標準正規の上側}\alpha/2\text{点}) \] となります。
不等式変形
上の確率の中身を \(\mu\) について解くと，
\[ -z_{\alpha/2} \;\le\; \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;\le\; z_{\alpha/2} \]
これを順に変形すれば， \[ \bar{X} - z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\;\le\; \mu \;\;\le\; \bar{X}+z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
これが母平均 \(\mu\) の \((1-\alpha)100\%\) 信頼区間です。とくに \(\alpha=0.05\)（信頼係数95％）のとき，\(z_{0.025} \approx 1.96\) となります。

前提
- 母集団 \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)（正規分布）
- 母分散は未知
- 標本サイズ \(n\) は 小さい（一般的には \(n < 30\) など）
推定量
- 標本平均 \(\bar{X}\)
- 不偏分散 \[ U^2 \;=\; \frac{1}{n-1}\,\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2. \] （自由度 \(n-1\)）
標準化（\(t\) 分布）母平均の区間推定には，母分散が未知のため標本の不偏標準偏差 \(U\) を使って \[ T \;=\; \frac{\bar{X} - \mu}{\,U/\sqrt{n}\,} \] を考えます。母集団が正規分布の場合，これは自由度 \(n-1\) の \(t\) 分布に従います。
不等式変形\[ P\!\Bigl(-t_{\alpha/2,\,n-1} \;\le\; T \;\le\; t_{\alpha/2,\,n-1}\Bigr) \;=\; 1 - \alpha \quad\Longrightarrow\quad P\!\Bigl(-t_{\alpha/2,\,n-1} \;\le\; \frac{\bar{X} - \mu}{\,U/\sqrt{n}\,} \;\le\; t_{\alpha/2,\,n-1} \Bigr) \;=\; 1 - \alpha. \] これを \(\mu\) について解くと， \[ \bar{X}-t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{U}{\sqrt{n}} \;\;\le\; \mu \;\;\le\; \bar{X}+t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{U}{\sqrt{n}} \] が得られます。

前提
- 母集団分布が正規でなくてもよい（中心極限定理を用いる）
- 母分散 \(\sigma^2\) は未知だが，不偏分散 \(U^2\) を使える
- 標本サイズ \(n\) は 大きい（一般に \(n \ge 30\) など）
標本平均の近似分布中心極限定理により，\(n\) が大きいとき \[ \bar{X} \;\approx\; \mathcal{N}\!\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma^2}{n}\Bigr). \]
標準化母分散は未知なので，不偏標準偏差 \(U\) を用いて \[ Z \;=\; \frac{\bar{X} - \mu}{\,U/\sqrt{n}\,} \;\approx\; \mathcal{N}(0,1). \] （厳密には \(t\) 分布に近いが，\(n\) が大きいとき標準正規へ近似）
区間推定
上と同様に， \[ -z_{\alpha/2} \;\le\; \frac{\bar{X} - \mu}{\,U/\sqrt{n}\,} \;\le\; z_{\alpha/2} \;\Longrightarrow\; \bar{X}-z_{\alpha/2}\,\frac{U}{\sqrt{n}} \;\;\le\; \mu \;\;\le\; \bar{X}+z_{\alpha/2}\,\frac{U}{\sqrt{n}} \] となり，これを95％区間として用います。

前提
- 母集団 \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)（正規分布）
- 母平均 \(\mu\) と母分散 \(\sigma^2\) はともに未知
- 標本サイズ \(n\)
- 不偏分散 \[ U^2 \;=\; \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2. \]
母分散の区間推定
母平均 \(\mu\) が未知でも，母集団が正規分布なら \[ \frac{(n-1)\,U^2}{\sigma^2} \;\sim\; \chi^2_{n-1} \quad (\text{自由度 }n-1). \] これを用いて \[ P\!\Bigl( \chi^2_{\alpha/2,\,n-1} \;\le\; \frac{(n-1)\,U^2}{\sigma^2} \;\le\; \chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1} \Bigr) \;=\; 1 - \alpha. \] （\(\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}\) はカイ二乗分布の上側\(\alpha/2\)点）
不等式変形
\[ \frac{(n-1)\,U^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}} \;\;\le\; \sigma^2 \;\;\le\; \frac{(n-1)\,U^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}. \] となり，これが母分散 \(\sigma^2\) の \((1-\alpha)100\%\) 信頼区間です。

前提
- 母集団の比率 \(p\) を推定したい
- 標本サイズ \(n\) が 十分に大きい（二項分布の正規近似が成り立つ）
推定量
- 標本比率 \(\hat{p} = \dfrac{\text{X}}{n}\)
標準化
\(\hat{p}\) は二項分布 \(B(n,p)\) に従いますが，\(n\) が大きい場合は \[ \hat{p} \;\approx\; \mathcal{N}\!\Bigl(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\Bigr). \] したがって \[ Z \;=\; \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \;\approx\; \mathcal{N}(0,1). \]
区間推定
\[ -z_{\alpha/2} \;\le\; \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \;\le\; z_{\alpha/2}. \] ただし，実際には \(p\) は未知なので近似的に \(\hat{p}\) を用いると，
\[ \hat{p} - z_{\alpha/2} \;\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2} \;\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]