部分集合の意味と具体例、例題について
1. 部分集合とは？
数学において、部分集合とは、ある集合の中からいくつかの要素を取り出して作られた集合のことを指します。簡単に言うと、集合Aがあり、その中の要素の一部または全部を取り出して作られた集合Bがあるとき、BはAの部分集合と呼ばれます。
例を見てみましょう。
- 集合A = {1, 2, 3, 4}
- 集合B = {1, 2}
この場合、集合Bは集合Aの部分集合です。なぜなら、Bのすべての要素（1と2）がAの中にも含まれているからです。
2. 部分集合の表記
数学では、部分集合を次のように表します。
- \( B \subseteq A \) BはAの部分集合である、という意味です。
また、部分集合には次の2つの種類があります。
2.1. 真部分集合（Proper Subset）
BがAの一部だけを持っており、Aと完全には一致しない場合、BはAの「真部分集合」と呼ばれます。記号では次のように表されます。
- \( B \subset A \)
たとえば、A = {1, 2, 3, 4} と B = {1, 2} の場合、BはAの真部分集合です。
2.2. 部分集合（Subset）
BがAと一致する場合も含め、BがAの一部または全部である場合を「部分集合」と呼びます。記号では次のように表されます。
- \( B \subseteq A \)
たとえば、A = {1, 2, 3, 4} と B = {1, 2, 3, 4} の場合、BはAの部分集合ですが、真部分集合ではありません。
3. 部分集合の特徴
3.1. 空集合も部分集合である
空集合（何も要素を持たない集合）は、どの集合に対しても部分集合とみなされます。これは、「空集合の要素が全て元の集合に含まれる」という条件を常に満たすためです。
記号で表すと、\( \emptyset \subseteq A \) となります。
3.2. 自身も部分集合である
どの集合も、それ自身を部分集合として持っています。たとえば、A = {1, 2, 3} なら、A ⊆ A が成り立ちます。
4. 部分集合の個数
集合の要素がn個の場合、その集合から作れる部分集合の数は次の式で計算できます。
\[ 2^n \]
これは、要素を含める含めないという2通りであることから計算できます。
4.1. 例
集合A = {a, b} の場合
- Aの要素数 = 2
- 部分集合の個数 = \( 2^2 = 4 \)
具体的な部分集合は次のようになります。
- 空集合 (\(\emptyset\))
- {a}
- {b}
- {a, b}
5. 部分集合の例題
5.1. 例題 1：部分集合の数を求める
集合 \( A = \{1, 2, 3\} \) の部分集合の個数を答えなさい？また、それらをすべて列挙しなさい。
集合 \( A \) の要素数は 3 です。部分集合の個数は次の式で求められます。
\[ 2^n \]
ここで \( n = 3 \) なので、
\[ 2^3 = 8 \]
部分集合を列挙すると次の通りです
- 空集合：\( \emptyset \)
- 1要素の部分集合：\( \{1\}, \{2\}, \{3\} \)
- 2要素の部分集合：\( \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\} \)
- すべての要素を含む集合：\( \{1, 2, 3\} \)
5.2. 例題 2：要素の判定
集合 \( D = \{2, 4, 6, 8\} \) と集合 \( E = \{4, 8\} \) について、次の問いに答えなさい。
- \( E \) は \( D \) の部分集合か？
- \( \{1, 2\} \) は \( D \) の部分集合か？
- 空集合 \( \emptyset \) は \( D \) の部分集合ですか？
- \( E = \{4, 8\} \) の要素（4, 8）は \( D = \{2, 4, 6, 8\} \) に含まれているため、\( E \subseteq D \) です。したがって、\( E \) は \( D \) の部分集合です。
- \( \{1, 2\} \) の要素「1」は \( D = \{2, 4, 6, 8\} \) に含まれていないため、\( \{1, 2\} \subseteq D \) は成立しません。したがって、これは \( D \) の部分集合ではありません。
- 空集合 \( \emptyset \) はすべての集合の部分集合であるため、\( \emptyset \subseteq D \) が成立します。
5.3. 例題 3：部分集合の作成
集合 \( F = \{A, B, C\} \) から要素を選んで、次の条件を満たす部分集合を作成してください。
- 要素数が2の部分集合
- 要素数が1の部分集合
- 要素数が2の部分集合
集合 \( F = \{A, B, C\} \) から2つの要素を選ぶと、次の部分集合ができます。\[ \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\} \] - 要素数が1の部分集合
集合 \( F \) から1つの要素を選ぶと、次の部分集合ができます。\[ \{A\}, \{B\}, \{C\} \]
