更新:2024/11/24

【加法定理】三角関数の積和の公式の証明と使い方について

$はるか$

はるか

積和の公式、つまり積を和に変換するやつ。

$ふゅか$

ふゅか

この公式を使うと複雑な三角関数の積が簡単になるよ。

1. 積和の公式（積を和に変換）
1.1. 和積の公式
2. 積和の公式の証明
2.1. 証明 1: $\sin A \cos B$
2.2. 証明 2: $\cos A \cos B $
2.3. 証明 3: $\sin A \sin B$
3. 例題
3.1. 例題1
3.2. 例題2
3.3. 例題3

1. 積和の公式（積を和に変換）

積和の公式は、三角関数の積（掛け算）を和（足し算や引き算）の形に変換するための公式です。

$$\begin{align*} \sin A \cos B &= \frac{1}{2} \left( \sin (A + B) + \sin (A – B) \right) \\ \cos A \cos B &= \frac{1}{2} \left( \cos (A + B) + \cos (A – B) \right) \\ \sin A \sin B &= \frac{1}{2} \left( \cos (A – B) – \cos (A + B) \right) \end{align*}$$

1.1. 和積の公式

和積の公式は、三角関数の和を積の形に変換するための公式です。

$$\begin{align*} \sin A + \sin B &= 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A – B}{2} \right)\\ \sin A – \sin B &= 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A – B}{2} \right)\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A – B}{2} \right)\\ \cos A – \cos B &= -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A – B}{2} \right) \end{align*}$$

2. 積和の公式の証明

$ふゅか$

ふゅか

ねぇ、この公式の証明の部分は何をしたらいいのかな？

$はるか$

はるか

加法定理が証明のポイント。

2.1. 証明 1: $\sin A \cos B$

まず、$\sin (A + B)$ と $\sin (A – B)$ の加法定理を用います。

\[ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] \[ \sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B \]

これらを足し合わせると、

$$\begin{align*}\sin (A + B) + \sin (A – B) &= (\sin A \cos B + \cos A \sin B) + (\sin A \cos B – \cos A \sin B)\\ &= 2 \sin A \cos B\end{align*}$$

したがって、

\[ \sin A \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin (A + B) + \sin (A – B) \right) \]

2.2. 証明 2: $\cos A \cos B $

次に、$\cos (A + B)$ と $\cos (A – B)$ の加法定理を利用します。

\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B \] \[ \cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

これらを足し合わせると、

$$\begin{align*}\cos (A + B) + \cos (A – B) &= (\cos A \cos B – \sin A \sin B) + (\cos A \cos B + \sin A \sin B) \\ &= 2 \cos A \cos B \end{align*}$$

したがって、

\[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos (A + B) + \cos (A – B) \right) \]

2.3. 証明 3: $\sin A \sin B$

$\cos (A + B)$ と $\cos (A – B)$ の加法定理を用います。

\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B \] \[ \cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

これらを引き算すると、

$$\begin{align*}\cos (A – B) – \cos (A + B) &= (\cos A \cos B + \sin A \sin B) – (\cos A \cos B – \sin A \sin B) \\ &= 2 \sin A \sin B \end{align*}$$

したがって、

\[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos (A – B) – \cos (A + B) \right) \]

3. 例題

3.1. 例題1

$\sin 3x \cos 2x$ の積を和の形に変換しなさい。

公式を使うと、

$$\begin{align*}\sin 3x \cos 2x &= \frac{1}{2} \left( \sin (3x + 2x) + \sin (3x – 2x) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sin 5x + \sin x \right) \end{align*}$$

3.2. 例題2

$\cos 4x \cos 3x$ の積を和の形に変換しなさい。

公式を使うと、

$$\begin{align*}\cos 4x \cos 3x &= \frac{1}{2} \left( \cos (4x + 3x) + \cos (4x – 3x) \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( \cos 7x + \cos x \right) \end{align*}$$

3.3. 例題3

$\sin 5x \sin 2x$ の積を和の形に変換しなさい。

公式を使うと、

$$\begin{align*} \sin 5x \sin 2x &= \frac{1}{2} \left( \cos (5x – 2x) – \cos (5x + 2x) \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( \cos 3x – \cos 7x \right) \end{align*}$$