【加法定理】三角関数の和積の公式の証明と使い方について

ふゅか

和積の公式って、三角関数の和を積に変えるやつだよね？なかなか面白いね！

はるか

うん、そう。和を積に変換することで、計算が楽になることがある。

ふゅか

そうそう！計算が簡単になったり、解きやすくなることがあるもんね。

1. 和積の公式（和を積に変換）

和積の公式は、三角関数の和（足し算や引き算）を積（掛け算）の形に変換するための公式です。

1.1. 積和の公式

和積の公式と似た三角関数の積を和に変換する積和の公式もあります。

2. 証明

はるか

証明ではまず、\(A\) と \(B\) を \(C\) と \(D\) で表現するのがポイント。これは後で展開するときに、式がシンプルになるから。

2.1.  \(\sin A + \sin B \)

証明のために、まず \(A\) と \(B\) を考えます。

\[ C = \frac{A + B}{2}, \quad D = \frac{A – B}{2} \]

これにより、\(A\) と \(B\) は次のように表せます。

\[ A = C + D, \quad B = C – D \]

左辺の \(\sin A + \sin B\) を書き換えます。

\[ \sin A + \sin B = \sin(C + D) + \sin(C – D) \]

加法定理 を使って展開します。

\[ \sin(C + D) = \sin C \cos D + \cos C \sin D \]

\[ \sin(C – D) = \sin C \cos D – \cos C \sin D \]

上記の式を足し合わせます。

\[ \sin A + \sin B = (\sin C \cos D + \cos C \sin D) + (\sin C \cos D – \cos C \sin D) \]

項をまとめると、\(\cos C \sin D\) の項が打ち消されて、次が得られます。

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin C \cos D \]

ここで \(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) を元に戻すと

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right) \]

2.2. \(\sin A – \sin B \)

先ほどと同様に、\(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) とおきます。

左辺の \(\sin A – \sin B\) を書き換えます。

\[ \sin A – \sin B = \sin(C + D) – \sin(C – D) \]

加法定理を使って展開します。

\[ \sin(C + D) = \sin C \cos D + \cos C \sin D \]

\[ \sin(C – D) = \sin C \cos D – \cos C \sin D \]

これらを引き算すると

\[ \sin A – \sin B = (\sin C \cos D + \cos C \sin D) – (\sin C \cos D – \cos C \sin D) \]

項をまとめると、\(\sin C \cos D\) の項が打ち消されて、次が得られます。

\[ \sin A – \sin B = 2 \cos C \sin D \]

ここで \(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) を元に戻すと

\[ \sin A – \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A – B}{2}\right) \]

2.3. \(\cos A + \cos B\)

先ほどと同様に、\(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) とおきます。

左辺の \(\cos A + \cos B\) を書き換えます。

\[ \cos A + \cos B = \cos(C + D) + \cos(C – D) \]

加法定理を使って展開します。

\[ \cos(C + D) = \cos C \cos D – \sin C \sin D \] \[ \cos(C – D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D \]

これらを足し合わせます。

\[ \cos A + \cos B = (\cos C \cos D – \sin C \sin D) + (\cos C \cos D + \sin C \sin D) \]

項をまとめると、\(\sin C \sin D\) の項が打ち消されて、次が得られます。

\[ \cos A + \cos B = 2 \cos C \cos D \]

ここで \(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) を元に戻すと

\[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A – B}{2}\right) \]

2.4. \(\cos A – \cos B \)

先ほどと同様に、\(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) とおきます。

左辺の \(\cos A – \cos B\) を書き換えます。

\[ \cos A – \cos B = \cos(C + D) – \cos(C – D) \]

加法定理を使って展開します。

\[ \cos(C + D) = \cos C \cos D – \sin C \sin D \] \[ \cos(C – D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D \]

これらを引き算すると

\[ \cos A – \cos B = (\cos C \cos D – \sin C \sin D) – (\cos C \cos D + \sin C \sin D) \]

項をまとめると、\(\cos C \cos D\) の項が打ち消されて、次が得られます

\[ \cos A – \cos B = -2 \sin C \sin D \]

ここで \(C = \frac{A + B}{2}\) と \(D = \frac{A – B}{2}\) を元に戻すと

\[ \cos A – \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A – B}{2}\right) \]

3. 和積の公式の例題

3.1. 例題 1

和積の公式を利用して、次のように変形します。

\[ \sin 3\theta + \sin 5\theta = 2 \sin \left( \frac{3\theta + 5\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{3\theta – 5\theta}{2} \right) \]

計算を行うと、

\[ \sin 3\theta + \sin 5\theta = 2 \sin \left( 4\theta \right) \cos \left( -\theta \right) \]

さらに、\(\cos(-\theta) = \cos \theta\) より、

\[ \sin 3\theta + \sin 5\theta = 2 \sin 4\theta \cos \theta \]

3.2. 例題 2

和積の公式を利用して、次のように変形します。

\[ \cos 7\theta – \cos 3\theta = -2 \sin \left( \frac{7\theta + 3\theta}{2} \right) \sin \left( \frac{7\theta – 3\theta}{2} \right) \]

計算を行うと、

\[ \cos 7\theta – \cos 3\theta = -2 \sin \left( 5\theta \right) \sin \left( 2\theta \right) \]