総和記号（シグマ）Σの意味や性質、具体例について
1. 総和とは
総和記号\(\sum\)は、ある範囲内で和を表すための数学的な記号です。
1.1. 総和記号の意味
\[ \sum_{i=a}^{b} x_i \]
ここで、それぞれの要素は以下のような意味を持ちます。
- \(\sum\)：これは総和記号。シグマと呼ばれます。
- \(i\)：添え字やインデックスと呼ばれ、総和の範囲内で変化する変数です。この変数は、整数であることが一般的です。
- \(a\)：開始値で、インデックス変数 \(i\) が始まる値です。
- \(b\)：終了値で、インデックス変数 \(i\) が終わる値です。
- \(x_i\)：数列または関数で、インデックス \(i\) に対応して計算される値です。
シグマはとびとびの値（離散値）の和になります。
2. 総和の具体例
2.1. 例 1: 数の和
例えば、次のような和を考えます。
\[ \sum_{i=1}^{5} i \]
これは、1から5までの整数の和を表します。この場合、次のように計算できます。
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]
このシグマの計算は、三角数と関係があります。
2.2. 例 2: 平方の和
今度は、次のような平方の和を考えます。
\[ \sum_{i=1}^{4} i^2 \]
この場合は、1から4までの各 \(i\) の2乗を足します。
\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \]
3. 総和の性質
3.1. 線形性
\[\begin{align*} \sum_{i=a}^{b} c \cdot x_i&= c \cdot \sum_{i=a}^{b} x_i \\ \sum_{i=a}^{b} (x_i + y_i) &= \sum_{i=a}^{b} x_i + \sum_{i=a}^{b} y_i \end{align*}\]
まず、定数倍の性質を証明します。左辺の総和は、次のように展開されます。
\[ \sum_{i=a}^{b} c \cdot x_i = c \cdot x_a + c \cdot x_{a+1} + \cdots + c \cdot x_b \]
これを共通因数 \(c\) で括り出すことができます。
\[ c \cdot (x_a + x_{a+1} + \cdots + x_b) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} x_i \]
したがって、
\[ \sum_{i=a}^{b} c \cdot x_i = c \cdot \sum_{i=a}^{b} x_i \]
次に、和に関する性質を証明します。左辺を展開すると、
\[ \sum_{i=a}^{b} (x_i + y_i) = (x_a + y_a) + (x_{a+1} + y_{a+1}) + \cdots + (x_b + y_b) \]
項ごとに分解すると
\[ = (x_a + x_{a+1} + \cdots + x_b) + (y_a + y_{a+1} + \cdots + y_b) \]
総和記号を使って書き直すと、
\[ \sum_{i=a}^{b} (x_i + y_i) = \sum_{i=a}^{b} x_i + \sum_{i=a}^{b} y_i \]
以上より、総和の演算に線形性があることが示された。
3.2. 範囲の分割
\[ \sum_{i=a}^{c} x_i = \sum_{i=a}^{b} x_i + \sum_{i=b+1}^{c} x_i \]
つまり、総和の範囲を \(a\) から \(b\)、および \(b+1\) から \(c\) に分けることができます。
与えられた総和を展開します。
\[
\begin{align*}\sum_{i=a}^{c} x_i &= x_a + x_{a+1} + \dots + x_b + x_{b+1} + \dots + x_c\\
&=(x_a + x_{a+1} + \dots + x_b) + (x_{b+1} + x_{b+2} + \dots + x_c)
\end{align*}
\]
ここで、\( i = a \) から \( i = b \) までの項の和：
\[ \sum_{i=a}^{b} x_i = x_a + x_{a+1} + \dots + x_b \]
一方で、\( i = b+1 \) から \( i = c \) までの項の和：
\[ \sum_{i=b+1}^{c} x_i = x_{b+1} + x_{b+2} + \dots + x_c \]
したがって、
\[ \begin{align*}\sum_{i=a}^{c} x_i &=(x_a + x_{a+1} + \dots + x_b) + (x_{b+1} + x_{b+2} + \dots + x_c)\\ &=\sum_{i=a}^{b} x_i + \sum_{i=b+1}^{c} x_i \end{align*} \]
例えば、
\[ \sum_{i=1}^{5} i = \sum_{i=1}^{3} i + \sum_{i=4}^{5} i \]
これは次のように計算できます。
\[ (1 + 2 + 3) + (4 + 5) = 6 + 9 = 15 \]
3.3. 差分の和（望遠鏡和）
\[ \sum_{i=a}^{b} (f(i) – f(i+1)) = f(a) – f(b+1) \]
詳しくは次の記事で解説しています。
