更新:2024/09/03

上限 (sup) と下限 (inf) の意味・定義・具体例・例題について

$はるか$

はるか

上限と下限、どっちから話そうか？

$ふゅか$

ふゅか

まずは上限からいこうよ！それが理解できたら、下限も簡単になるから♪

1. 上限 (sup, supremum)について

上限とは、ある集合 $ S $ の上界の中で最小のものを指します。つまり、全ての要素がその値以下であり、かつそれより小さい上界は存在しません。

集合 $ S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x < 1 \} $ の上限は 1 です。これは、1 が集合 $ S $ の要素のすべてを覆う最小の上界であるためです。ただし、1 は $ S $ の要素ではありません。

$はるか$

はるか

上限は、集合の全ての要素を覆う最小の上界。

下限とは、ある集合 $ S $ の下界の中で最大のものを指します。つまり、全ての要素がその値以上であり、かつそれより大きい下界は存在しません。

集合 $ T = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \leq 2 \} $ の下限は 1 です。これは、1 が集合 $ T $ の要素のすべてを覆う最大の下界であるためです。ただし、1 は $ T $ の要素ではありません。

$ふゅか$

ふゅか

下限は、上限の逆みたいなものだよね！集合の全ての要素がそれ以上の値を持つ、最大の下界を指すんだよね。

$はるか$

はるか

集合に含まれていないけど重要。

$ふゅか$

ふゅか

例題を解いてみるともっと理解が深まるよね！最初は簡単な集合から始めてみよう♪

集合 $ S = \{1, 2, 3, 4, 5\} $ とします。Sの最大値、最小値、上限、下限を求めよ。

集合 $ S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} $ とします。Sの最大値、最小値、上限、下限を求めよ。

最大値 (max): $ T $ には最大値は存在しません。1 に限りなく近づく要素はあっても、1 そのものは $ T $ に含まれていません。
最小値 (min): $ T $ には最小値も存在しません。0 に限りなく近づく要素はあっても、0 そのものは $ T $ に含まれていません。
上限 (sup): この場合、上限は $ 1 $ です。つまり、$ \sup T = 1 $ です。これは、1 より大きい $ T $ の上界は存在せず、1 は最小の上界だからです。
下限 (inf): この場合、下限は $ 0 $ です。つまり、$ \inf T = 0 $ です。これは、0 より小さい $ T $ の下界は存在せず、0 は最大の下界だからです。