シルベスターの数列の具体例・性質・漸化式について

1. シルベスターの数列とは

この漸化式によって、シルベスターの数列（Sylvester’s sequence） \(a_n\) が以下のように計算されます。

1. \( a_1 = 2 \)
2. \( a_2 = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \)
3. \( a_3 = 3^2 - 3 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7 \)
4. \( a_4 = 7^2 - 7 + 1 = 49 - 7 + 1 = 43 \)
5. \( a_5 = 43^2 - 43 + 1 = 1849 - 43 + 1 = 1807 \)

このように、次の項を計算することができます。

2. シルベスターの数列の性質

2.1. 漸化式が積の形になる

はるか

実は、この数列の漸化式、積の形にもできるんだ。

ふゅか

うん、確かに！$a_{n+1} = \prod_{k=1}^{n} a_k + 1$ っていう形だよね。

数学的帰納法を利用して証明します。

$n=1$のとき、次の項 \( a_2 \) は次のようになります。

\[ a_2 = a_1^2 - a_1 + 1 = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \]

また、漸化式より、$a_2$は次のようになります。

$$a_2 = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$$

\( n = k \) のときに \( a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i+ 1 \) であると仮定します。

次に、\( n = k+1 \) のときの式を考えます。\( a_{k+2} \) は以下のように表されます。

\[ a_{k+2} = a_{k+1}^2 - a_{k+1} + 1 \]

ここで、仮定により \( a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i + 1 \) ですので、\( a_{k+2} \) を次のようになります。

\[ a_{k+2} = \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right)^2 - \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right) + 1 \]

\[= \left(\prod_{i=1}^{k} a_i\right)^2 + 2\prod_{i=1}^{k} a_i + 1 - \prod_{i=1}^{k} a_i - 1 + 1 \]

\[= \prod_{i=1}^{k} a_i \times \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right) + 1 \]

となります。\( a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i+ 1 \)より、

\[ a_{k+2} = \prod_{i=1}^{k} a_i \times a_{k+1} + 1 \]

\[\therefore a_{k+2} = \prod_{i=1}^{k+1} a_i + 1 \]

となります。

よって、\( n = k+1 \) の場合にも、与えられた漸化式 が成り立ちます。したがって、数学的帰納法により、与えられた数列が次の形で表されることが証明されました。

\[ a_{n+1} = \prod_{k=1}^{n} a_k + 1 \]

2.2. 逆数の和

ここで、\(\prod_{k=1}^{n} a_k\) は \( a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n \) を表す積の記号です。

数学的帰納法を利用して証明します。

まず、初項 \( n = 1 \) の場合を考えます。この場合、$a_1=2$より、式は次のようになります。

\[ \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{a_1} \]

この等式は明らかに成り立ちます。

次に、\( n=k \) に対して次の等式が成り立つと仮定します。

\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} = 1 - \frac{1}{\prod_{i=1}^{k} a_i} \]

\( n=k+1 \) のとき、式は次のようになります。

\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}} \]

仮定より、次のように変形します。

\[ = \left(1 - \frac{1}{\prod_{i=1}^{k} a_i}\right) + \frac{1}{a_{k+1}} \]

次に、先ほど示したシルベスター数列の性質 \( a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i + 1 \) を利用します。これにより、

\[ = 1 - \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i} + \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i + 1} \]

\[ = 1 + \frac{-\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i - 1 + \displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i }{\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} a_i} \]

\[ = 1 - \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} a_i} \]

これにより、\( n=k+1 \) でも等式が成り立つことが示されました。

したがって、数学的帰納法により次の等式が成り立つことが証明されました。

\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} = 1 - \frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} a_k} \]

はるか

逆数の和が $1 - \frac{1}{\prod_{k=1}^{n} a_k}$ にもなる。

2.3. エジプト分数

はるか

さらに、この数列はエジプト分数の組み合わせにも使われる。

ふゅか

そうそう！自然数の組み合わせで、和が1未満で最大の値を取るとき、それがシルベスターの数列になるんだよね！例えば、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$のときとか。

以下に、具体的な例を挙げて解説します。

\( n = 2 \) の場合
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} < 1 \]
この条件を満たす自然数 \(a_1 < a_2\) を求めると、最大値は \(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\) のときです。このときの和は
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \]
となります。

\( n = 3 \) の場合
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < 1 \]
この条件を満たす自然数 \(a_1 < a_2 < a_3\) を求めると、最大値は \(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 7\) のときです。このときの和は
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42} \]
となります。