対称式とは？基本対称式と例題について
1. 対称式とは
対称式とは、変数を入れ替えても値が変わらない式のことを指します。例えば、変数 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) についての式が、どのように変数を入れ替えても同じ値になるとき、その式を対称式と呼びます。
1.1. 対称式の例
\[\begin{align*} & x^2+y^2 \\ &x^3+y^2 \\ &x^4+y^4+xy \\ &x + xy + y \\ &x^2 + y^2 + z^2 \\ \end{align*}\]
変数の順番を変えても結果が変わらないので、対称式です。
2. 基本対称式とは
基本対称式は、対称式を簡潔に表現するために用いられる基礎的な対称式の集まりです。
2.1. 2変数の場合
$$\begin{align*} &x+y \\ &xy \end{align*}$$
2変数$x,y$しか式に登場しないならば、基本対称式のみで表すことができます。
2.2. ３変数の場合
$$\begin{align*}& x+y+z \\ &xy+yz+zx \\ &xyz \end{align*}$$
一方で、3変数$x,y,z$しか式に登場しないならば、基本対称式のみで表すことができます。
3. 例題
3.1. 例題1：2変数の場合
- \(x^2 + y^2\)
- \(x^3 + y^3\)
- \(x^4 + y^4\)
を求めなさい。
\(x^2 + y^2\) は、
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \]
これに与えられた値を代入します。
\[ x^2 + y^2 = (1)^2 – 2\sqrt{7} \] \[ x^2 + y^2 = 1 – 2\sqrt{7} \]
よって、
\[ x^2 + y^2 = 1 – 2\sqrt{7} \]
次に、\(x^3 + y^3\) は
\[\begin{align*} x^3 + y^3 &= (x + y)(x^2-xy+y^2) \\ &=(x + y)((x + y)^2 – 3xy)\end{align*}\]
与えられた \(x + y = 1\) と \(xy = \sqrt{7}\) を使って計算します。
\[\begin{align*} x^3 + y^3 &=(1)((1)^2 – 3\sqrt{7}) \\ &=1(1 – 3\sqrt{7})\\ &=1 – 3\sqrt{7} \end{align*}\]
よって、
\[ x^3 + y^3 = 1 – 3\sqrt{7} \]
最後に、\(x^4 + y^4\) は
\[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 – 2(xy)^2 \]
すでに \(x^2 + y^2 = 1 – 2\sqrt{7}\) と \(xy = \sqrt{7}\) がわかっているので、これらを代入して計算します。まず、\(xy = \sqrt{7}\) の2乗を計算します。
\[ (xy)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \]
これを式に代入します。
\[\begin{align*} x^4 + y^4 &= (1 – 2\sqrt{7})^2 – 2(7)\\ &=1^2 – 2 \times 1 \times 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 -14\\ &=1 – 4\sqrt{7} + 28-14\\ &=29 – 4\sqrt{7}-14 \\ &=15 – 4\sqrt{7} \end{align*}\]
よって、
\[ x^4 + y^4 = 15 – 4\sqrt{7} \]
捕捉になりますが、$x^n+y^n$について漸化式で計算する方法について解説しています。
3.2. 例題2：3変数の場合
- $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
- $x^2+y^2+z^2$
- $x^3+y^3+z^3$
を求めなさい。
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)を計算すると
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz}
\]
与えられた条件から \(xy + yz + zx = 0\) であり、また \(xyz = 11\) なので、
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{0}{11} = 0
\]
よって、\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\) です。
次に、\(x^2 + y^2 + z^2\) を求めます。これは次の式を使います。
\[ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) \]
与えられた条件 \(x + y + z = 1\) と \(xy + yz + zx = 0\) を代入すると、
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 – 2(0) = 1 \]
よって、\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) です。
次に、\(x^3 + y^3 + z^3\) を求めます。これは次の式を使います。
\[ x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)\left(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx\right) + 3xyz \]
この式に与えられた条件 \(x + y + z = 1\)、\(xy + yz + zx = 0\)、\(xyz = 11\) を代入します。
まず、\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) を使うと、
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 1\left(1 – 0\right) + 3 \times 11 = 1 + 33 = 34 \]
よって、\(x^3 + y^3 + z^3 = 34\) です。
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 1, \quad x^3 + y^3 + z^3 = 34 \]
3.3. 例題3
- $x^2+\dfrac{1}{x^2} $
- $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
を求めなさい。
まず、両辺を2乗します。
\[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (-1)^2 = 1 \]
左辺を展開すると、
\[ x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 1 \]
両辺から2を引くと、
\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 – 2 = -1 \]
よって、\(x^2 + \frac{1}{x^2} = -1\) です。
次に、\(x^3 + \frac{1}{x^3}\) を求めます。
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) – \left( x + \frac{1}{x} \right) \]
この式に、与えられた \(x + \frac{1}{x} = -1\) と、先ほど求めた \(x^2 + \frac{1}{x^2} = -1\) を代入します。
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = (-1)(-1) – (-1)= 2 \]
よって、\(x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\) です。
