SymPyを使用して常微分方程式を解く方法について

1. 微分方程式とSymPy

PythonのライブラリであるSymPyは、数学的な計算や解析に使える便利なツールです。常微分方程式を解く機能も持っており、手軽に微分方程式の解を求めることができます。

1.1. 基本的な考え方

微分方程式を扱う際には、次の3つのステップが重要です。

これらのステップを理解すれば、SymPyを使って簡単に微分方程式を解くことができます。

2. SymPyで微分方程式を解く方法

2.1. 常微分方程式の解法

まずは、1階常微分方程式の具体例を通して、SymPyの使い方を見ていきましょう。

この1階常微分方程式をSymPyで解くには、以下のように記述します。

import sympy as sp
# 変数と関数の定義
x = sp.symbols('x')
y = sp.Function('y')

# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x) + y(x), x)

# 微分方程式の解法
solution = sp.dsolve(ode)

print("解:", solution)

このコードは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = x$ を解き、結果を表示します。

2.2. 初期条件付き常微分方程式

次に、初期条件付きの微分方程式を解く例を見てみましょう。初期条件も指定することで、特定の解を求めることができます。

以下は、上記の常微分方程式を解く例です。

# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x), -2*y(x))

# 初期条件の定義
initial_conditions = {y(0): 1}

# 微分方程式の解法（初期条件付き）
solution = sp.dsolve(ode, ics=initial_conditions)

print("解:", solution)

このコードは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} = -2y$ を初期条件 $y(0) = 1$ で解き、結果を表示します。

2.3. 2階常微分方程式

次に、2階常微分方程式をSymPyで解く例を示します。2階微分方程式では、関数の2階微分を使って方程式を定義します。

以下は、上記の常微分方程式を解く例です。

# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x, x) - 3*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)

# 微分方程式の解法
solution = sp.dsolve(ode)

print("解:", solution)

このコードは、微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ を解き、結果を表示します。出力は次のようになります。

はるか

2階微分の場合は、y(x).diff(x, x)と書く。

2.4. 連立微分方程式の解法

最後に、連立微分方程式を解く方法を紹介します。複数の微分方程式を同時に解く場合も、SymPyで簡単に扱うことができます。

以下は、上記の連立微分方程式を解く例です。

# 関数の定義
y1, y2 = sp.Function('y1'), sp.Function('y2')

# 連立微分方程式の定義
ode1 = sp.Eq(y1(x).diff(x), y1(x) + y2(x))
ode2 = sp.Eq(y2(x).diff(x), y1(x) - y2(x))

# 連立微分方程式の解法
solution = sp.dsolve((ode1, ode2))

print("解:", solution)

このコードは、上記の連立微分方程式を解き、結果を表示します。