SymPyを使用して常微分方程式を解く方法について
1. 微分方程式とSymPy
PythonのライブラリであるSymPyは、数学的な計算や解析に使える便利なツールです。常微分方程式を解く機能も持っており、手軽に微分方程式の解を求めることができます。
1.1. 基本的な考え方
微分方程式を扱う際には、次の3つのステップが重要です。
- 微分の表現・・・関数 \( y(x) \) を変数 \( x \) について微分する場合、
y(x).diff(x)と記述します。これで関数 \( y(x) \) の1階微分を表現します。 - 微分方程式の表現・・・微分方程式は、
sp.Eq()を使って定義します。このメソッドに左辺と右辺の式を渡すことで、等式としての微分方程式を作成できます。 - 微分方程式を解く・・・作成した微分方程式は、
sp.dsolve()を使って解きます。
これらのステップを理解すれば、SymPyを使って簡単に微分方程式を解くことができます。
2. SymPyで微分方程式を解く方法
2.1. 常微分方程式の解法
まずは、1階常微分方程式の具体例を通して、SymPyの使い方を見ていきましょう。
例: 1階常微分方程式
この1階常微分方程式をSymPyで解くには、以下のように記述します。
import sympy as sp
# 変数と関数の定義
x = sp.symbols('x')
y = sp.Function('y')
# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x) + y(x), x)
# 微分方程式の解法
solution = sp.dsolve(ode)
print("解:", solution)
このコードは、微分方程式 \(\frac{dy}{dx} + y = x\) を解き、結果を表示します。
2.2. 初期条件付き常微分方程式
次に、初期条件付きの微分方程式を解く例を見てみましょう。初期条件も指定することで、特定の解を求めることができます。
例2: 初期条件付き常微分方程式
以下は、上記の常微分方程式を解く例です。
# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x), -2*y(x))
# 初期条件の定義
initial_conditions = {y(0): 1}
# 微分方程式の解法（初期条件付き）
solution = sp.dsolve(ode, ics=initial_conditions)
print("解:", solution)
このコードは、微分方程式 \(\frac{dy}{dx} = -2y\) を初期条件 \( y(0) = 1 \) で解き、結果を表示します。
2.3. 2階常微分方程式
次に、2階常微分方程式をSymPyで解く例を示します。2階微分方程式では、関数の2階微分を使って方程式を定義します。
以下は、上記の常微分方程式を解く例です。
# 微分方程式の定義
ode = sp.Eq(y(x).diff(x, x) - 3*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)
# 微分方程式の解法
solution = sp.dsolve(ode)
print("解:", solution)
このコードは、微分方程式 \(\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0\) を解き、結果を表示します。出力は次のようになります。
2.4. 連立微分方程式の解法
最後に、連立微分方程式を解く方法を紹介します。複数の微分方程式を同時に解く場合も、SymPyで簡単に扱うことができます。
$$\frac{dy_2}{dx} = y_1 - y_2$$
以下は、上記の連立微分方程式を解く例です。
# 関数の定義
y1, y2 = sp.Function('y1'), sp.Function('y2')
# 連立微分方程式の定義
ode1 = sp.Eq(y1(x).diff(x), y1(x) + y2(x))
ode2 = sp.Eq(y2(x).diff(x), y1(x) - y2(x))
# 連立微分方程式の解法
solution = sp.dsolve((ode1, ode2))
print("解:", solution)
このコードは、上記の連立微分方程式を解き、結果を表示します。
