命題論理のトートロジーの具体例・例題・真理値表について
はるか
命題論理式がトートロジー・・・・・。なんか響きがいいな。
目次
1. トートロジーとは
トートロジーは、どんな論理値においても常に真である論理式を指します。これはつまり、真理値が常に「真（True）」となる命題や式のことです。トートロジーは恒真とも呼ばれます。
ふゅか
具体的にトートロジーを真理値表で見てみよう！
1.1. \( A \lor \neg A \)
| \( A \) | \( \neg A \) | \( A \lor \neg A \) |
|---|---|---|
| T (真) | F (偽) | T (真) |
| F (偽) | T (真) | T (真) |
この真理値表から、論理式 \( A \lor \neg A \) がどんな解釈（\( A \) が真か偽か）でも常に真であることが確認できます。これがトートロジーであることを示しています。
はるか
論理式 \( A \lor \neg A \) について命題論理について具体的に考えてみる。
1.1.1. 天気に関する命題
- \( A \): 「今日は雨が降る」
- \( \neg A \): 「今日は雨が降らない」
この場合、命題 \( A \lor \neg A \) は「今日は雨が降る」または「今日は雨が降らない」という意味になります。どちらかが必ず真であるため、この式は常に真であることがわかります。
1.1.2. 試験に関する命題
- \( A \): 「試験に合格する」
- \( \neg A \): 「試験に合格しない」
ここでも、\( A \lor \neg A \) は「試験に合格する」または「試験に合格しない」という意味になります。どちらかが必ず真であるため、同様に、この式は常に真であることがわかります。
1.2. \( (A \rightarrow B) \lor (B \rightarrow A) \)
| \( A \) | \( B \) | \( A \rightarrow B \) | \( B \rightarrow A \) | \( (A \rightarrow B) \lor (B \rightarrow A) \) |
|---|---|---|---|---|
| T (真) | T (真) | T (真) | T (真) | T (真) |
| T (真) | F (偽) | F (偽) | T (真) | T (真) |
| F (偽) | T (真) | T (真) | F (偽) | T (真) |
| F (偽) | F (偽) | T (真) | T (真) | T (真) |
この真理値表から、論理式 \( (A \rightarrow B) \lor (B \rightarrow A) \) がどのような解釈でも真であることが確認できます。したがって、この論理式もトートロジーであることがわかります。
2. トートロジーか判定する例題
ふゅか
トートロジーか判定してみよう！
2.1. 問題 1
次の命題がトートロジーであるか判定しなさい。 $$(P \land Q) \rightarrow P$$
| \(P\) | \(Q\) | \(P \land Q\) | \((P \land Q) \rightarrow P\) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
トートロジーである。
2.2. 問題 2
次の命題がトートロジーであるか判定しなさい。 $$(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$$
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) | \(\neg(P \land Q)\) | \((P \lor Q) \land \neg(P \land Q)\) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F |
| T | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | F |
トートロジーではない。
2.3. 問題 3
次の命題がトートロジーであるか判定しなさい。$$(P \rightarrow Q) \lor (\neg P \rightarrow Q)$$
| \(P\) | \(Q\) | \(P \rightarrow Q\) | \(\neg P \rightarrow Q\) | \((P \rightarrow Q) \lor (\neg P \rightarrow Q)\) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T |
トートロジーである。
2.4. 問題 4
次の命題がトートロジーであるか判定しなさい。$$\neg(P \land Q) \lor (\neg P \lor \neg Q)$$
| \(P\) | \(Q\) | \(\neg P \lor \neg Q\) | \(\neg(P \land Q)\) | \(\neg(P \land Q) \lor (\neg P \lor \neg Q)\) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F |
| T | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
トートロジーでない。
はるか
実際問題、一つでもFとなる場合があったらトートロジーじゃなくなるから判定自体は簡単。
PR
