全微分の意味と計算方法について
1. 全微分の式
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \]
ここで、\( \frac{\partial f}{\partial x} \) と \( \frac{\partial f}{\partial y} \) はそれぞれ \( x \) と \( y \) に関する \( f \) の偏微分を示し、\( dx \) と \( dy \) は \( x \) と \( y \) の微小変化を示します。
2. 全微分の導出
全微分は、テイラー展開の一次項を用いて導出できます。
関数 \( f(x, y) \) を点 \( (x, y) \) でテイラー展開すると、
\[ f(x + dx, y + dy) = f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \text{高次の項} \]
微小な変化 \( dx \)、\( dy \) を考えているので、高次の項は無視できます。したがって、
\[ dz = f(x + dx, y + dy) – f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \]
となり、これが全微分の式になります。
3. 全微分の計算問題
3.1. 例題1
\( \frac{\partial z}{\partial x} \) を求めます。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y \cos(xy) \]
\( \frac{\partial z}{\partial y} \) を求めます。
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + x \cos(xy) \]
全微分の式に代入する
\[ dz = (2xy + y \cos(xy))dx + (x^2 + x \cos(xy))dy \]
これで、関数 \( z \) の全微分が求まりました。
3.2. 例題2
$(1)$ $f(x,y)=x^2 y + 3xy $の全微分を求めよ。
$(2)$ $(1,2,8)$における$f(x,y)$の全微分を求めよ。
(1) まず、\( x \) と \( y \) に対する偏微分を計算します。
$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y $$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3x$$
したがって、
$$df = (2xy + 3y )dx+(x^2 + 3x)dy$$
(2)次に、関数 \( f(x, y) = x^2 y + 3xy \) の点 \( (1, 2) \) での全微分を求めてみましょう。
$$ df = 10 dx + 4 dy $$
