転置行列

1. 転置行列

転置行列とは、$m行n列$の行列を$n行m列$に入れ替えた行列。行を列、または列を行に入れ替えた行列のことを表す。そのため、$i,j$の要素を、$j,i$の要素に入れ替えた行列である。そのため、対角成分$（i,i）$は入れ替わらない。

1.1. 転置行列の例

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}$

行列Aが以上のように定義されるとき、転置行列$A^T$は

$A^T=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}$

2. 転置行列の性質

① $(A+B)^T=A^T+B^T$

2.1. ①の意味

行列$A$と$B$の和の転置行列は$A、B$それぞれの転置行列の和となる。

② $(AB)^T=B^TA^T$

2.2. ② の意味

行列$A,B$の積の転置行列は、行列$A,B$を転置行列した後に、積の順序を逆転させたものになる。

2.3. ② の証明

行列$A$の$i,j$成分を$A_{ij}$とあらわすとする。行列$A$と行列$B$の積の$i,j$成分を$c_{ij}$とすると、$(AB)^T$の$i,j$成分は$c_{ji}$となる。したがって、$c_{ij}=\displaystyle\sum_k A_{ik}B_{kj}$となるから、

$c_{ji}=\displaystyle\sum_k A_{jk}B_{ki}$

$=\displaystyle\sum_k A^T_{kj}B^T_{ik}$

$=\displaystyle\sum_k B^T_{ik}A^T_{kj}$

となることから、行列$A,B$の積の転置行列は、行列$A,B$を転置行列した後に、積の順序を逆転させたものになる。

2.4. ②の例

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 &10 \\ \end{bmatrix}$とするときに先ほど証明した②を用いてみましょう。

まず、$AB$を求める。

$AB=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 &10 \\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 1\times 5+2\times 8 & 1\times 6+2\times 9 & 1\times7+2\times 10\\ 3\times 5+4\times 8 & 3\times 6+4\times 9 & 3\times7+4\times 10\\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 21 & 24 & 27\\ 47 &54 & 61\\ \end{bmatrix}$

したがって、$(AB)^T=\begin{bmatrix} 21 & 47 \\ 24 &54 \\ 27 &61 \\ \end{bmatrix}$となる。

$B^TA^T$を次に求める。

$B^TA^T=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 6 & 9 \\ 7 & 10 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 5\times 1+8\times 2 & 5\times 3+8\times 4 \\ 6\times 1+9\times 2 & 6\times 3+9\times 4\\ 7\times1+10\times 2 & 7\times 3+10\times 4\\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 21 & 47 \\ 24 &54 \\ 27 &61 \\ \end{bmatrix}$

$=(AB)^T$

となるため、$(AB)^T=B^TA^T$確認することができた。

③ $(uA)^T=uA^T$

2.5. ③の意味

スカラー倍$u$した行列$A$の転置行列は、$A$の転置行列をスカラー倍$u$したものになる。
以上のことから、以下のことが成り立つことがわかる。
$(sA+tB)^T=sA^T+tB^T$

④ $tr(A^T)=tr(A)$

2.6. ④ の意味

行列の対角成分の積は、転置した後も変わらない。

⑤$(A^T)^T=A$

2.7. ⑤の意味

二回転置させると、同じ行列に戻る。