更新:2024/09/16

転置行列

1. 転置行列

転置行列とは、$m行n列$の行列を$n行m列$に入れ替えた行列。行を列、または列を行に入れ替えた行列のことを表す。そのため、$i,j$の要素を、$j,i$の要素に入れ替えた行列である。そのため、対角成分$(i,i)$は入れ替わらない。

1.1. 転置行列の例

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}$

行列Aが以上のように定義されるとき、転置行列$A^T$は

$A^T=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}$

2. 転置行列の性質

① $(A+B)^T=A^T+B^T$

2.1. ①の意味

行列$A$と$B$の和の転置行列は$A、B$それぞれの転置行列の和となる。


② $(AB)^T=B^TA^T$

2.2. ② の意味

行列$A,B$の積の転置行列は、行列$A,B$を転置行列した後に、積の順序を逆転させたものになる。

2.3. ② の証明

行列$A$の$i,j$成分を$A_{ij}$とあらわすとする。行列$A$と行列$B$のの$i,j$成分を$c_{ij}$とすると、$(AB)^T$の$i,j$成分は$c_{ji}$となる。したがって、$c_{ij}=\displaystyle\sum_k A_{ik}B_{kj}$となるから、

$c_{ji}=\displaystyle\sum_k A_{jk}B_{ki}$

$=\displaystyle\sum_k A^T_{kj}B^T_{ik}$

$=\displaystyle\sum_k B^T_{ik}A^T_{kj}$

となることから、行列$A,B$の積の転置行列は、行列$A,B$を転置行列した後に、積の順序を逆転させたものになる。

ポイント

行列の積は入れ替えられないんじゃないと思った人もいるかもしれませんがこれは成分の積であるため、入れ替えることができます。

2.4. ②の例

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 &10 \\ \end{bmatrix}$とするときに先ほど証明した②を用いてみましょう。

まず、$AB$を求める。

$AB=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 &10 \\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 1\times 5+2\times 8 & 1\times 6+2\times 9 & 1\times7+2\times 10\\ 3\times 5+4\times 8 & 3\times 6+4\times 9 & 3\times7+4\times 10\\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 21 & 24 & 27\\ 47 &54 & 61\\ \end{bmatrix}$

したがって、$(AB)^T=\begin{bmatrix} 21 & 47 \\ 24 &54 \\ 27 &61 \\ \end{bmatrix}$となる。

$B^TA^T$を次に求める。

$B^TA^T=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 6 & 9 \\ 7 & 10 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 5\times 1+8\times 2 & 5\times 3+8\times 4 \\ 6\times 1+9\times 2 & 6\times 3+9\times 4\\ 7\times1+10\times 2 & 7\times 3+10\times 4\\ \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 21 & 47 \\ 24 &54 \\ 27 &61 \\ \end{bmatrix}$

$=(AB)^T$

となるため、$(AB)^T=B^TA^T$確認することができた。


③ $(uA)^T=uA^T$

2.5. ③の意味

スカラー倍$u$した行列$A$の転置行列は、$A$の転置行列をスカラー倍$u$したものになる。
以上のことから、以下のことが成り立つことがわかる。
$(sA+tB)^T=sA^T+tB^T$


④ $tr(A^T)=tr(A)$

2.6. ④ の意味

行列の対角成分の積は、転置した後も変わらない。


⑤$(A^T)^T=A$

2.7. ⑤の意味

二回転置させると、同じ行列に戻る。

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