3倍角の公式の2通りの証明について

ふゅか

3倍角の公式かぁ！角度が3倍になるときのsinとcosの値を求めるやつね！

はるか

うん、簡単に証明できる。

1. 3倍角の公式

1.1. sinの3倍角の公式

1.2. cosの3倍角の公式

これらの公式を使うことで、角度が3倍になったときの三角関数の値を求めることができます。

2. 加法定理による証明

はるか

加法定理を使って、3倍角の公式を証明できる。

ふゅか

うん、sin(2θ+θ)に角度を分けるのがポイントね！

2.1.  \( \sin 3\theta \) の証明

\( \sin 3\theta = \sin (2\theta + \theta) \)であるから、三角関数の加法定理より

\[ \sin 3\theta = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta \]

次に、2倍角の公式を使います。2倍角の公式は

\[ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \]

\[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \]

これを代入すると、

\[\begin{align*} \sin 3\theta &= (2\sin \theta \cos \theta) \cos \theta + (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) \sin \theta \\ &=2\sin \theta \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta – \sin^3 \theta\\ &=3\sin \theta \cos^2 \theta  – \sin^3 \theta \end{align*} \]

ここで 、三角関数の関係式\( \cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta \) を使って、式を \( \sin \theta \) のみで表します。

\[\begin{align*} \sin 3\theta &=3\sin \theta \cos^2 \theta  – \sin^3 \theta \\ &=3\sin\theta( 1 – \sin^2 \theta)- \sin^3 \theta \\ &=3\sin \theta – 4\sin^3 \theta \end{align*} \]

したがって、

$$\sin 3\theta=3\sin \theta – 4\sin^3 \theta $$

2.2. \( \cos 3\theta \) の証明

同様に\( \cos 3\theta = \cos (2\theta + \theta) \) であるから、三角関数の加法定理を利用すると

\[ \cos 3\theta = \cos 2\theta \cos \theta – \sin 2\theta \sin \theta \]

2倍角の公式を使い、代入して整理すると

\[\begin{align*} \cos 3\theta &= (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) \cos \theta – (2\sin \theta \cos \theta) \sin \theta \\ &= \cos^3 \theta – \cos \theta \sin^2 \theta – 2\sin^2 \theta \cos \theta \\ &=\cos^3 \theta – 3\cos \theta \sin^2 \theta \end{align*} \]

ここで 三角関数の関係式\( \sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta \) を使って、式を \( \cos \theta \) のみで表すと、

\[\begin{align*} \cos 3\theta &=\cos^3 \theta – 3\cos \theta \sin^2 \theta \\ &= \cos^3 \theta -3\cos\theta(1-cos^2\theta) \\ &= 4\cos^3 \theta – 3\cos \theta \\ \end{align*} \]

したがって、

\[ \cos 3\theta = 4\cos^3 \theta – 3\cos \theta \]

3. ド・モアブルの定理による証明

ふゅか

ド・モアブルの定理も使えるんだね！複素数を使って、sinとcosの3倍角を一気に証明できるなんて、効率的だわ♪

はるか

実部と虚部を分けるのがポイント。

ド・モアブルの定理と二項定理より、

\[\begin{align*} (\cos \theta + i \sin \theta)^3 &= \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} \cos^{3-k} \theta (i \sin \theta)^k \\ &= \binom{3}{0} \cos^3 \theta + \binom{3}{1} \cos^2 \theta (i \sin \theta) + \binom{3}{2} \cos \theta (i \sin \theta)^2 + \binom{3}{3} (i \sin \theta)^3 \\ &= \cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta – 3 \cos \theta \sin^2 \theta – i \sin^3 \theta \end{align*}\]

3.1. 実部と虚部を分ける

実部と虚部を分けます。

3.1.1. 実部（cosine）

\[ \cos 3\theta = \cos^3 \theta – 3 \cos \theta \sin^2 \theta \]

これは、式変形することで\( \cos3\theta = 4\cos^3 \theta – 3\cos \theta \) と同じ形になります。

3.1.2. 虚部（sine）

\[ \sin 3\theta = 3 \cos^2 \theta \sin \theta – \sin^3 \theta \]

これは、式変形することで\( \sin 3\theta = 3\sin \theta – 4\sin^3 \theta \) と同じ形になります。