論理回路や数理論理学の真理値表の具体例・例題について
はるか
真理値表は論理命題のすべての真理値を調べるための表。
ふゅか
論理回路の動作や命題論理のトートロジーとかを理解するのにも使えるわ！
1. 真理値表とは
真理値表は、論理命題や論理式のすべての可能な真理値（TrueまたはFalse）を示す表です。これは、論理演算子（例えば、AND、OR、NOTなど）を含む式の結果を示すために使われます。真理値表を使うことで、論理式がどのような条件で真（True）または偽（False）になるかを体系的に調べることができます。
真理値表は、以下のような要素で構成されます。
- 命題変数：各命題変数（例えば、\( p \), \( q \) など）の可能な真理値の組み合わせが記載されます。命題変数が増えると、それに伴い表の行数も増えます。
- 論理演算子：各行で命題変数の組み合わせに対して、論理演算子を適用した結果を示します。
- 論理式の結果：最終的な論理式の結果（TrueまたはFalse）を示します。
はるか
真理値表には命題変数の組み合わせと論理演算子の結果を記載する。
2. 真理値表の例
例えば、2つの命題変数 \( p \) と \( q \) に対して、論理積（AND）、論理和（OR）、否定（NOT）の真理値表は以下のようになります。TrueやFalseはT、Fとしてあらわされることがあります。また、論理回路の場合はTrueやFalseは0、1として表現されます。
2.1. AND（論理積）
\( p \land q \)の真理値表は次のようになります。
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | False |
| False | True | False |
| False | False | False |
2.2. OR（論理和）
\( p \lor q \)の真理値表は次のようになります。
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | True |
| False | True | True |
| False | False | False |
2.3. NOT（否定）
\( \neg p \)の真理値表は次のようになります。
| \( p \) | \( \neg p \) |
|---|---|
| True | False |
| False | True |
3. 例題
3.1. 例題 1
次の論理式の真理値表を作成してください。
$$論理式： A \land (B \lor \neg C) $$
- まず、各変数 \( A \)、\( B \)、\( C \) のすべての組み合わせの真理値をリストします。
- 各ステップで中間の論理式（例えば、\( \neg C \)、\( B \lor \neg C \) など）の真理値を計算します。
- 最後に、与えられた論理式 \( A \land (B \lor \neg C) \) の真理値を求めます。
| \( A \) | \( B \) | \( C \) | \( \neg C \) | \( B \lor \neg C \) | \( A \land (B \lor \neg C) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | T | F | F | F |
| F | F | F | T | T | F |
3.2. 例題 2
次の論理式の真理値表を作成してください。
$$論理式：(A \rightarrow B) \lor \neg(A \land C) $$
- 各変数 \( A \)、\( B \)、\( C \) のすべての組み合わせの真理値をリストします。
- 中間の論理式、含意（\( A \rightarrow B \)、論理積\( A \land C \)、および \( \neg(A \land C) \)）の真理値を計算します。
- 最終的に与えられた論理式 \( (A \rightarrow B) \lor \neg(A \land C) \) の真理値を求めます。
| \( A \) | \( B \) | \( C \) | \( A \rightarrow B \) | \( A \land C \) | \( \neg(A \land C) \) | \( (A \rightarrow B) \lor \neg(A \land C) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F | T |
| T | T | F | T | F | T | T |
| T | F | T | F | T | F | F |
| T | F | F | F | F | T | T |
| F | T | T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
| F | F | F | T | F | T | T |
このように、真理値表を使用して論理式のすべての可能な真理値をリストし、各ステップで中間の論理式の真理値を計算することができます。
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